指數的問題交於A,B兩點 , AB=2求a=?

y = [2^x + 2^(-x)]/2 ⋯⋯ (i)
y = a/[2^x + 2^(-x)] ⋯⋯ (ii)解 (i), (ii), 得2y = a/y==> y²＝a/2因 2^x 及 2^(-x) 不會有負值，所以 y = √(a/2)，且 a＞0，即 AB 為一水平直線。用 y = √(a/2) 代入 (i) 或 (ii), 得 √(2a)＝2^x＋2^(-x)==> (2^x)²－√(2a) (2^x) + 2 = 0==> 2^x = [√(2a) + √(2a - 8)]/2 或 [√(2a) - √(2a - 8)]/2若點A的坐標是(x1, √(a/2)), 點B的坐標是(x2, √(a/2)，則x2 - x1＝2==> 2^(x2 - x1) = 4==> 2^(x2) / 2^(x1) = 4==> 2^(x2) = 4 * 2^(x1)==> [√(2a) + √(2a - 8)]/2 = 4 * [√(2a) - √(2a - 8)]/2==> √(2a) + √(2a - 8) = 4√(2a) - 4√(2a - 8)==> 5√(2a - 8) = 3√(2a)==> 25(2a - 8) = 9(2a)==> 50a - 200 = 18a==> 32a = 200==> a = 6.25

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y=(2^x+2^-x)/2及y=a/(2^x+2^-x)兩圖形均對稱y軸 圖形交於A,B兩點 , AB=2, 交點x = ±1 故 交點y = (2+1/2)/2 = 5/4, a = y(2^x+2^-x) =(5/4)(5/2) = 25/8

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y=(2^x+2^-x)/2
y=a/(2^x+2^-x)
聯立解，以得交點A(xa,ya)與B(xb,yb) ；定義x座標大者為A點，即xa>xb
(2^x+2^-x)/2= a/(2^x+2^-x)
(2^x+2^-x)^2=2a
2^ (2x) +2+ 2^(-2x)=2a
4^x + 4^(-x) =2a-2
4^(2x) -(2a-2) (4^x ) +1 =0
(4^x)^2 - (2a-2) (a^x) +1=0
=>兩根為xa 、xb
令u =4^x
u^2 - (2a-2)u+1=0
則其兩根為ua =4^(xa) ，ub=4^(xb)
ua+ub= 2a-2
=> 4^(xa) +4^(xb)= 2a-2
(ua)(ub)=1
=>4^(xa) ×4^(xb) = 4^(xa+xb)=1=4^0
=>xb=-xa
代入y=(2^x+2^-x)/2，可得知ya=yb (兩交點A、B之y座標相同)
所以AB長度=兩點x座標相距值= xa-xb=2
xa-(-xa)=2
xa=1
xb= -xa=-1

4^(xa) +4^(xb)= 2a-2
4^1 +4^(-1) = 2a-2
3.75=2a-2
a=2.875




2014-11-09 04:49:08 補充：
更正
第九行
(4^x)^2 - (2a-2) (a^x) +1=0
=>兩根為xa 、xb

為
(4^x)^2 - (2a-2) (4^x) +1=0
=>兩根為xa 、xb

2014-11-12 14:42:08 補充：
最佳解答
√(2a)＝2^x＋2^(-x)
==> (2^x)²－√(2a) (2^x) + 2 = 0 計算錯誤
應該為 (2^x)²－√(2a) (2^x) + 1 = 0
所以最後a 應該是 3.125 = 25/8 才對.

PS. 我的回答， 也計算錯誤　ＸＤ...

(2^x+2^-x)/2=a/(2^x+2^-x)
2a=(2^x+2^-x)^2=2^(2x)+2+2^(-2x)
令2^(2x)=u→u^2+(2-2a)u+1=0
u=a-1±√(a^2-2a)→x=log[a-1±√(a^2-2a)]/2
然後帶線段公式解AB=2