變異數 題目

變異數σ＝標準差s之平方= { Σ(Xi -μ)^2 } /N
其中Xi 為各數據值，N為sample數，μ(平均值) = (ΣXi) / N

σ={ Σ(Xi -μ)^2 } /N = {Σ(Xi^2 -2μXi +μ^2)}/N
=(ΣXi^2 )/N -2 (ΣμXi)/N + (Σμ^2)/N
=(ΣXi^2 )/N -2μ(ΣXi)/N + N (μ^2) /N
=(ΣXi^2 )/N -2μμ+ μ^2
=(ΣXi^2 )/N - μ^2

男生
σ = (ΣXi^2 )/N - μ^2
25= (ΣXi^2 )/20 - 85^2
(ΣXi^2 )男 = 145000

女生
σ = (ΣXi^2 )/N - μ^2
9 =(ΣXi^2 )/30 - 80^2
(ΣXi^2 )女 = 192270

全班
(ΣXi^2 ) 全班 =(ΣXi^2 )男+(ΣXi^2 )女
=145000+192270=337270
N 全班 =N男+N女 =20+30=50
μ全班= (N男×μ男 + N女×μ女 )/ N全班
= (20×85+80×30)/50 =82
σ 全班= (ΣXi^2 )/N - μ^2
= 337270/50 - 82^2
=21.4
Ans : 全班數學成績之變異數為21.4


2014-11-11 21:45:47 補充：
變異數σ^2 = { Σ(Xi -μ)^2 } /N

若甲班有20名男學生，其數學成績平均為85分，變異數25，並有30名女學生
，其數學成績平均為80分，變異數9，求全班數學成績之變異數?
Sol
M：男學生，Ｆ：女學生，Ａ：全體學生
E(M)=85，VAR(M)=25
Var(M)=E(M^2)－[E(M)]^2
E(M^2)=Var(M)+[E(M)]^2=25+85^2=7250
E(F^2)=9+80^2=6409
E(A^2)=(20*7250+30*6409)/(20+30)=6745.4
E(A)=(20*85+30*80)/50=82
Var(A)=6745.4-82^2=21.4