2013數學競賽

已知a，b皆為整數，則共有______組數對(a，b)滿足條件5(a^2+ab+b^2)=7a+14b
Sol
5(a^2+ab+b^2)=7a+14b
5a^2+5ab+5b^2-7a-14b=0
5a^2+(5b－7)a+(5b^2－14b)=0
D=(5b－7)^2－4*5*(5b^2－14b)
=25b^2－70b+49－100b^2+280b
=－75b^2+210b+49>=0
75b^2-210b<=49
b^2－14b/5<=49/75
(b^2－14b+49/25)<=49/75+49/25
(b－7/5)^2<=196/75
－√(196/75)<=b－7/5<=√(196/75)
－1.6165<=b－1.4<=1.6165
－0.2165<=b<3.0166
0<=b<=3
(1) b=0
5(a^2+0+0)=7a
5a^2=7a
a=0 or a=7/5(不合)
(20) b=1
5(a^2+a+1)=7a+14
5a^2－2a－9=0
無整數解
(3) b=2
5(a^2+2a+4)=7a+28
5a^2+3a－8=0
(5a+8)(a－1)=0
a=1 or a=－8/5(不合)
(4) b=3
5(a^2+3a+9)=7a+42
5a^2+8a+3=0
(5a+3)(a+1)=0
a=－1 or a=－3/5(不合)
So
(a，b)=(0，0) or (1，2) or (－1，3)共3組

5(a²+ab+b²) = 7a+14b
5a²+5ab+5b² = 7a+14b
5b² +(5a-14)b +5a²-7a =0 ~ 式一

一元二次方程式AX²+BX+C =0的公式解為
[ -B± √(B²-4AC) ] /2A，判別式D=B²-4AC
而在式一中，我們可以把b當做未知數X來看
由於b必須是整數，所以公式解的√D必須可以開出整數
那麼D= B²-4AC是一個完全平方數
D= (5a-14)² -4(5)(5a²-7a)
整理得D= 196-75a²
因為a也必須是整數，故分析如下：

a=0，D=196=14²
a=±1，D=121=11²
所以a= 1, 0, -1
再將a的可能值一一代入式一求b：

(1)a=1
5b²-9b-2 =0
由十字交乘法得(b-2)(5b+1) =0
b=2

(2)a=0
5b²-14b =0
b(5b-14) =0
b=0

(3)a=-1
5b²-19b+12 =0
(b-3)(5b-4) =0
b=3(整數)

根據(1)(2)(3)得知數對(a,b)僅有三組解。

2014-11-18 11:25:49 補充：
最爛的解法還有三個人投
頗ㄏ
不是灌票就是低能

5(a² + ab + b²) = 7(a + 2b)
所以
a² + ab + b² = 7k
a + 2b = 5k 其中k為整數

5(a² + ab + b²) = 7a + 14b
==> 5(a² + ab + b²) = 7(a + 2b)所以a² + ab + b² = 7 ⋯⋯⋯⋯ (i)a + 2b = 5==> a = 5 - 2b ⋯⋯⋯⋯ (ii)代 (ii) 入 (i)，得
(5 - 2b)² + b(5 - 2b) + b² = 7==> 4b² - 20b + 25 + 5b - 2b² + b² = 7==> 3b² - 15b + 18 = 0==> 3(b - 2)(b - 3) = 0==> b = 2 或 3當 b = 2 時，a = 5 - 2x2 = 1 ;當 b = 3 時，a = 5 - 2x3 = -1。又，5x0 = 7x0，此時 a＝b＝0。所以，共有 3 組數對 (a, b) 滿足條件：(1, 2), (-1, 3), (0, 0)

(-1，3)(0，0)(1，2)