圓方程式(挑戰題)

我的想法是運用向量疊加
要有方程式要先定義座標
那我就取大圓圓心為(0,0)好了
這樣大圓上任一點位置的向量就是(4CosY, 4SinY) Y為一變數
然後要求小圓在大圓外圍做純滾動的軌跡
取的點 和 開始滾的地方 方向 都可能會影響到軌跡
也就是軌跡不唯一
那我就取其中一點與大圓觸碰的點座標為(4,0)，且相對於小圓心為逆時針轉
則此時小圓的圓心位置在(4,0)
小圓相對圓心每轉了X弧度 則接觸面行經X弧長 則圓心轉了X/4弧度
則小圓圓心位置為(5Cos(X/4), 5Sin(X/4) )
小圓圓心到軌跡點的向量為(Cos(兀+X), Sin(兀+X) )
相加畫簡可得小圓中一點的軌跡參數式 (5Cos(X/4)-CosX, 5Sin(X/4)-SinX )
不定元可任意變換符號，只要在定義域之內
故為 (5Cos(t/4)-Cost, 5Sin(t/4)-Sint )
表為聯立方程式即是
{X=5Cos(t/4)-Cost
{Y=5Sin(t/4)-Sint
t屬於實數
應該是這樣，不保證絕對正確

2014-11-09 22:59:43 補充：
看了很久(以下討論英文版維基百科的內容)
癥結點在於小圓滾過的長度他取紫色那一段
而我覺得是P點到虛線與小圓的左邊焦點的弧長
他的式子寫說小圓滾過弧長=αr 但是我認為應該是= (α+ө)r
但是我仍然認為我是對的
因為P點是從相對小圓圓心角位置=兀 出發 而不是 兀+ө
而且用看的也會覺得綠色弧長顯然大於紫色弧長
簡單來說，我覺得他的өR=αr這個步驟是錯的
當然我還會再看看我是不是哪裡推理錯誤

2014-11-10 22:44:35 補充：
其實沒有我只是一介高中生

2014-11-11 22:54:58 補充：
目前只想得到一種解釋方法，但是我依然覺得原算法正確
小圓圓周上和大圓相切點速率=大圓上和小圓相切點速率=0(沒有相對錯動)
故小圓上與大圓相切之點相對於小圓圓心的速率和圓心速率等大反向，
經相同時間後擁有相同弧長
所以假設小圓上一點P相對圓心轉X(其他假設同上)
則小圓心相對大圓心轉了弧長X 即弧度 X/5
同理解得
[X=5Cos(X/5)-CosX
[Y=5Sin(X/5)-SinX

2014-11-15 22:45:22 補充：
[X=5Cos(T/5)-CosT
[Y=5Sin(T/5)-SinT
T屬於實數

http://sexbarss.net/?fromuid=273436

小圓圓心軌跡是大圓的同心圓吧?


這需要用所謂 "參數(化)方程式" 來解題及表達. 其結果是所謂 "外擺線".
請參考 http://en.wikipedia.org/wiki/Epicycloid (中文版太簡略, 還是看
這英文版吧!) 或者用搜尋引擎找 "外擺線".

你問小圓圓心的軌跡嗎？？