微積分 單邊極限

Lim(X→2-) [ X^2/ (X^2 - 4) ] = 4/0- = -∞一點問題也沒有

~ ~ 是你粗心算錯了 ~ ~

如果怕粗心，不妨因式分解F(X)= X^2/ (X^2 - 4) = X^2/ (X+2)(X-2)
所以Lim(X→2-) [ X^2/ (X^2 - 4) ] = X^2/ (X+2)(X-2) = 4/ (0-)(4-) =4/0-。

但是直接代變數的極限值求極限值是會出很多問題的。請計算：
(1.) Lim(X→2-) 1/(X+2)
(2.) Lim(X→2-) (X^2+X-2) / (X^2+3X+2)
(3.) Lim(X→2-) (X^3+4X^2+4X) / (X+2)

如果每一道題目都直接代變數的極限值求函數的極限值，那答案會變成：
-∞、無意義、無意義。

實際上答案是：-∞、3、0。

事情是這樣的，我們不需要做解法直觀的(1.)。剩下的來做做看較低次元的(2.)：
Lim(X→2-) (X^2+X-2) / (X^2+3X+2)。

Lim(X→2-) (X^2+X-2) / (X^2+3X+2)
= Lim(X→2-) (X+2)(X-1) / (X+2)(X+1)
= Lim(X→2-) (X-1)/(X+1) = -3/-1 =3。

如果你想問為什麼0/0的情形消失了，先想想自己的思考產生什麼矛盾了：
(X-1)/(X+1)和(X^2+X-2) / (X^2+3X+2)明明是同一個東西，
只是我們故意上下同乘以X+2改變它的模樣，
既然很確定Lim(X→2-) (X-1)/(X+1) =3，
那Lim(X→2-) (X^2+X-2) / (X^2+3X+2) 怎可能不是3？

其實消去X+2，好比分子和分母互相抵消X+2-->0-的現象。

同樣的(3.) Lim(X→2-) (X^3+4X^2+4X) / (X+2)
= Lim(X→2-) X(X+2)^2 /(X+2)
= Lim(X→2-) X(X+2)
= 0。

2014-11-08 00:07:34 補充：
TO萱萱：良心建議你兩件事

（一）若回答不像個回答，請在意見區發言以防檢舉
奇摩有幾個分身廢主被圍剿後遁逃，現在到處找人麻煩。

（二）看懂別人的發言再做批評
我已經說過了，是因為用樓主的直接代入法才會變無意義。請仔細回顧。

2014-11-08 22:09:12 補充：
感謝小天才的提點。我額外設計的題型只是供樓主比較。但是計算過程馬虎給錯答案，有可能造成其他錯誤的觀念，不好意思更正如下：

(2.) Lim(X→2-) (X^2+X-2) / (X^2+3X+2)
化簡到最後一步時Lim(X→2-) (X-1)/(X+1) = -3/-1 =3。
應該改成Lim(X→2-) (X-1)/(X+1) = 1/3。

(3.) Lim(X→2-) (X^3+4X^2+4X) / (X+2)
化簡到最後一步時Lim(X→2-) X(X+2) =0
應該改成Lim(X→2-) X(X+2) =2(2+2) =8。

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簡單來說 極限就是一個「任意地靠近」的概念
取正極限就代表了你取的逼近值比被逼進的值還要大，但是大了一個「任意小」的值
舉例來說，譬如你給的題**取到4/0其實不是4/0因為分母為0的數無意義
您所謂的4/0要改成 4/a 其中 a是一個比0小的數，但是又無限地靠近0
-0.1很小 -0.01更小... 無限地下去，這個值就跟a 差不多 但是a仍然比0小「一丁點」
過程如下
lim(X->2-){ X^2/(X^2-4) }
又X^2-4為0-
4除以0-為-infinity

2014-11-08 23:22:26 補充：
誤會啦，我沒有批評誰啊@@

2014-11-08 23:23:14 補充：
我說的無意義是指 數學上0擺分母無意義

趨近2+代表x趨近2且比2大但不知道是多少
所以X^2 - 4比0大答案是＋∞
趨近2-代表x趨近2且比2小但不知道是多少
所以X^2 - 4比0小答案是－∞

2014-11-08 01:55:58 補充：
我很好奇哪本原文書會說
Lim(X→2-) (X^2+X-2) / (X^2+3X+2)=3
Lim(X→2-) (X^3+4X^2+4X) / (X+2)=0
事實上上面兩個極限分別是1/3跟8

2014-11-08 21:51:12 補充：
版主愛的答案從第一行開始就錯了只有我跟萱萱的答案是正確的

2014-11-08 22:01:18 補充：
萱萱的答案也有一點錯lim (X→2-) X^2 / X^2 - 4不是4/0-應該是4-/0-

2014-11-09 00:34:17 補充：
Lim(X→2-) 1/(X+2)=1/4不是-∞

2014-11-14 10:10:13 補充：
這版主有問題已經說過愛的解答從第一行就開始錯到底還選他當最佳解答
據我的觀察他從頭到尾都不是在探討x趨近2-而是趨近-2-
也就是說他連分段點的觀念都沒有