代數+幾何

1)假設你的問題是求下式的最小值(僅供參考) :x² / (1 + x) + 2(4 - x)² / (10 - 2x)
= x² / (x + 1) - (x - 4)² / (x - 5)
　x² (x - 5) - (x - 4)² (x + 1)
= ────────────────
　　　(x + 1) (x - 5)
　 x³ - 5x² - (x³ - 8x² + 16x + x² - 8x + 16)
= ─────────────────────────
　　　　　　　x² - 4x - 5
= 2(x² - 4x - 8) / (x² - 4x - 5)
　2(x² - 4x - 5) - 6
= ──────────
　　 x² - 4x - 5
= 2 - 6/(x² - 4x - 5)　　　　 6
= 2 + ───────
　　 9 - (x - 2)²
x ≠ 5 及 x ≠ - 1 使原式分母 ≠ 0。當 x 由 - ∞ → - 1 → 2 → 5 → ∞ , 原式由 2 → 干∞ → 8/3 → ±∞ → 2。
故原式無最小值及最大值, 局部最小值 = 8/3。
2)由 △ACF ~ △FCB 得 AC / FC = FC / BC ⇒ AC × BC = FC² = 10² = 100。
又 ∠AEB 為直角, 令 AC = a , BC = b , OC = r , 則 ab = 100 ,
AE = AD + DE = a + r , BE = BG + GE = b + r , AB = a + b ,
由 AE² + BE² = AB² 得
(a + r)² + (b + r)² = (a + b)²
a² + 2ar + r² + b² + 2br + r² = a² + 2ab + b²
ar + br + r² = ab
ab + (a+b)r + r² = ab + ab
(a + r) (b + r) = 10 + 10
(AE) (BE) = 20
AE × BE / 2 = 10
△AEB = 10

2014-11-05 23:07:47 補充：
1) 別解(判別式法) :

令 x² / (1 + x) + 2(4 - x)² / (10 - 2x)
= 2(x² - 4x - 8) / (x² - 4x - 5) = y ≠ 2
⇒ (y - 2)x² + (8 - 4y)x + 16 - 5y = 0

2014-11-05 23:07:55 補充：
x為實數故 Δ = (8 - 4y)² - 4(y - 2)(16 - 5y) ≥ 0 ,
(2y - 4)² + (y - 2)(5y - 16) ≥ 0
4y² - 16y + 16 + 5y² - 26y + 32 ≥ 0
9y² - 42y + 48 ≥ 0
3y² - 14y + 16 ≥ 0
(3y - 8) (y - 2) ≥ 0
y ≥ 8/3 或 y < 2 , (捨去 y = 2)
故原式無最小值及最大值, 局部最小值 = 8/3 , 當 x = 2 時取到。

第１題

我唔知你的 (10-2l) 是什麼意思，但不用 calculus 是可以做到的。

Let y = [整個東西]，把equation寫成 quadratic equation in x.

f(y) x² + g(y) x + h(y) = 0

那麼考慮 discriminant >= 0 即可得出 y 的最小值。