✔ 最佳答案
我們做兩個題目就好了：
(一)lim(x→1) [X^2+X+1]。
(二)lim(x→1) [X^2+X+1]/(X+2)。
(一)由高斯定理知 X-1 <[X] <=X，同理，(X^2+X+1)-1 < [X^2+X+1] <= (X^2+X+1)。
x→1-時 ∵2<X^2+X+1<3 且 [X^2+X+1]<=(X^2+X+1) ∴lim [X^2+X+1] = 2；
x→1+時 ∵3< X^2+X+1 <4 且 [X^2+X+1] <= (X^2+X+1) ∴lim [X^2+X+1] = 3。
於是，lim(x→1) [X^2+X+1]不存在。
(二)......(X^2+X+1)/(X+2) < [X^2+X+1] /(X+2) <= (X^2+X+1)/(X+2) +1。
我們先變化(X^2+X+1)/(X+2)：X^2+X+1 = (x-1)(x+2) +2，此時利用小學除法的概念
我們得(X^2+X+1)/(X+2) = (x-1) +2/(x+2)。
x→1-時，-1<(x-1)<0，2/3< 2/(x+2) <1，-1/3< (x-1) +2/(x+2) <1，lim[X^2+X+1]/(X+2) =0。
x→1+時，過程給你練習看看，結果=1。
於是，lim(x→1) [X^2+X+1]/(X+2)不存在。
2014-11-07 06:34:50 補充：
很抱歉分解F(X)的時候出了錯導致後面錯誤的推導。修正如下：
變化(X^2+X+1)為(X+2)(X-1) +3, 此時利用小學除法的概念可改寫被除數F(X)為商+餘數/除數 : X-1 +3/(X+2)。
然後3/(X+2)的範圍：X-->1-符合0<1, 所以2<3, 1/2> 1/(X+2) >1/3
3/2> 3/(X+2) >1, 注意算出來是>1不是>0哦！
接著到第三題。
2014-11-07 06:38:57 補充：
不小心被文長限制刪掉一些字：X-->1-符合
0<1, 則2<3。
接著往第三題。
2014-11-07 06:54:58 補充：
符合零小於變數小於一，則二小於變數加二小於三。
終於可以來到第三題了～唉，奇摩網管就是廢。
F(X)= [X-2] /(X-2), 由於單純性，不坊試試直觀法：
因為變數不足2，由先前解題的經驗知道分子=變數-3，此時沒被約分掉變數-2的分母會造成函數值--> -1/0- 趨近於無限大。因此Lim F(X)不存在。
2014-11-07 07:03:51 補充：
如果一定要列式，那麼由於變數-->2-符合1<變數<2：
則-1<變數-2<0，又[變數-2] <=變數-2，同理於第一題左極限的求法，所以[變數-2] =-1。
2014-11-07 07:13:46 補充：
好好發的文被打亂真煩～～
關於第二題補充的後續事宜繼續替你完成：
由不等式的疊加性質可得Lim F(X) =1 when X-->1-。
由於右極限也是1，所以Lim(X-->1)F(X) = 1。
