數學極限相關問題6題,感謝20點~

1.
夾擠定理
x*( (1/x)-1 )<x[1/x]<
lim"x->0+"{ x*( (1/x)-1 ) }小於等於題幹，小於等於lim"x->0+"{ x*( (1/x)+1) }
故1小於等於題幹小於等於1
答案為1
2.發散，答案為正無限大或者無極限
3.題幹=lim"n->infinity" { (1+1/n)^2n }=1
4.上下同除以-x 得到-2
5.想不到 想到再補
6.x^n-1=(x-1)(x^n-1 + x^n-2 ... + 1)
題幹=lim"x->1"{ (x-1)(x的五次方加到1次+1)/(x-1)(x的九次方加到1次+1) }=6/10=3/5

2014-11-05 22:19:51 補充：
2.分母趨近於0+ 分子趨近於1 所以1/任意接近0的正數，可說是正無限大 或者無極限(不收斂)
4. x->-infinity: x<0 │x│=-x
lim"x->-infinity"{ (2x+1)/(x^2+3)^1/2 }
=lim"x->-infinity"{ [(2x+1)/-x]/[(x^2+3)/x^2]^1/2 }
=lim"x->-infinity"{ [-2-(1/x)]/[1+(3/x^2)]^1/2 }
=lim"x->-infinity"{-2/1}
=-2

2014-11-05 22:23:50 補充：
第五我去問過了，大幅度超越我們的所學範圍，可能要學到指數函數的微積分才能解...
會不會是抄錯題目了，和其他幾題差異太大了

2014-11-09 23:24:03 補充：
感謝網友的提醒 第3題我的答案似乎錯了
因為括弧內的數字雖然很靠近1但是他的次方卻是趨近於無限
所以不能直接把無限分開帶入

3. 5.相關解答請參考意見者的回答

2014-11-09 23:26:45 補充：
更正 第一題極限不存在
因為[0+]=0 所以沒有極限

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第5題確實需要指數函數之微分

(9^x-5^x)/x = (9^x -1)/x - (5^x -1)/x

x → 0 則上列右式第一項得 f(x) = 9^x 在 x=0 的導數,
第2項是 g(x) = 5^x 在 x=0 的導數.

(d/dx) a^x = (ln a) a^x. 在 x=0 處得導數 ln(a). 此處需 a > 0 且 a≠1.


所以原題答案是 ln 9 - ln 5 = ln(9/5).

2014-11-09 11:18:18 補充：
第3題如1F說的, 是 e^2.

(1+1/n)^{2n} = [(1+1/n)^n]^\2
故
lim (1+1/n)^{2n} = [lim (1+1/n)^n]^2


lim (1+1/n)^n = e, 自然對數的底.

回答者還沒學到指對數函數微分, 可能也不知上列極限.
不過, 以為 lim (1+1/n)^n 顯然是把底 (1+1/n) 與乘冪 n
分開考慮的結果, 這是錯誤的認知.

第3題的答案是e^2