AMC考題

Q1:
答案： (D) 3/2

8xy - 12y + 2x - 3 = 0
(8xy - 12y) + (2x - 3) = 0
4y(2x - 3) + (2x - 3) = 0
(2x - 3)(4y + 1) = 0

無論 y 為何值，當 x = 3/2 時，(2x- 3)(4y + 1) = 0


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Q2:
設兩數分別為 n 和 9/n。

1/n = 4(n/9)
1/n = 4n/9
4n² = 9
(4n² - 9) = 0
(2n + 3)(2n - 3) = 0
n = -3/2 (不合) 或 n= 3/2

兩數的和
= (3/2) + [9/(3/2)]
= 15/2


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Q3:
答案： (B) 4

m² - n² = 96
(m + n)(m - n) = 96

96
= 96 × 1 = [(97/2) + (95/2)] × [(97/2) - (95/2)]
= 48 × 2 = (25 + 23) × (25 - 23)
= 32 × 3 = [(35/2) + (29/2)] × [(35/2) - (29/2)]
= 24 × 4 = (14 + 10) × (14 - 10)
= 16 × 6 = (11 + 5) × (11 - 5)
= 12 × 8 = (10 + 2) × (10 - 2)

共有四對整數數對 (m, n)：(10,2), (11, 5), (14, 10), (25, 23)


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Q4:
答案： (C) 0

2x² + mx - 9
= (2x - 1)(x + 9) = 2x² + 17x - 9
= (2x + 1)(x - 9) = 2x² - 17x - 9
= (2x - 9)(x + 1) = 2x² - 7x - 9
= (2x + 9)(x - 1) = 2x² + 7x - 9
= (2x - 3)(x + 3) = 2x² + 3x - 9
= (2x + 3)(x - 3) = 2x² - 3x - 9

m 值的總和
= 17 - 17 - 7 + 7 + 3 - 3
= 0

我也收到電郵詢問為何我要投二號而不投三號。

原因同上 004 的意見。

否則題目只要說明有實根就可以了，但現在題目是問：
「可被因式分解成兩個一次式的連乘積」

希望各位網友明白。

第四題 m 不可是任意整數。

「2x² + mx - 9 可被因式分解成兩個一次式的連乘積」的意思是：
2x² + mx - 9 = (ax + b)(cx + d)
其中 a、b、c、d 必須為整數。

接受 b 和 d 可以是無理數，才會有 m 是任意整數的錯誤推論。

2014-11-07 13:18:49 補充：
還有一個很基本的概念：

2x² + mx - 9 可因式分解，但沒有根。

2x² + mx - 9 = 0 有根（實根或虛根）。

候選編號 1 在四題中只答了三題問題，看來又出動投票團隊強搶最佳答案了。

2014-11-07 00:06:42 補充：
候選編號 1 在四題中只答了三題問題，看來真的又出動投票團隊強搶最佳答案了。

2014-11-08 00:19:31 補充：
我所說的「又出動投票團隊強搶最佳答案了」，是指如現在般，一眼看出第一個答案是最差的答案，但偏偏有很多票選這最差答案為最佳！

偏偏有很多票選這最差答案為最佳！

偏偏有很多票選這最差答案為最佳！

(1.)先將原式整理成 (2x-3)(4y+1) =0，此時：
若2x-3不為0，y=-0.25；若2x-3=0，y=R。故x=3/2。

(2.)ab=9, 1/a=4/b, 由式二交叉相乘得b=4a代入式一得a=3/2, b=6，所求為15/2。

(3.)96= m^2-n^2 = (m+n)(m-n)；
96=96x1=48x2=32x3=24x4=16x6=12x8
由於 兩正數和>兩正數差 故可列得：
m+n = 96, 48, 32, 24, 16, 12
m-n = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8
因為m= 0.5[ (m+n) + (m-n) ]，必須是兩式相加為偶數的情況才可以得到正整數m，所以兩式只能是"奇數+奇數"或"偶數+偶數"，然後n= 第一式(m+n) -m。
故只有4組符合，答案(C)。

(4.)一元二次多項式可以利用公式解求得因式分解式：ax^2+bx+c = a(x-α)(x-β) =
a { x- [-b+√(b^2-4ac)] /2a } { x- [-b-√(b^2-4ac)] /2a }。
所以2x^2+mx-9 = 2(x- [-m+√(m^2+72)]/4)(x- [-m-√(m^2+72)]/4)。
可以因式分解代表上面的分解式成立，函數有兩實根，所以√裡頭的b^2-4ac必須>=0否則會造成x是兩虛根(既然不是實際存在的根那麼實際上是不能因式分解的)，意即m^2>=72。於是發現m=Z，所求為0+ [1+(-1)] + [2+(-2)] + [3+(-3)] +...=0。

2014-11-03 16:13:53 補充：
更正：函數有兩實根改成根皆為實數(不論是兩個根或重根)
有一個要注意的地方是，兩個因式的係數不一定要是整數，只要是實數都行。
例如2x^2+mx-9 = 2 [x- (-1+ 0.5√22] [x- (-1- 0.5√22)]，要變成題目要求的兩個一次式的乘積，很簡單，只要把2乘進其中一個式子就行了。

2014-11-03 23:10:22 補充：
更正："意即m^2>=72。於是發現m=Z"的部分，應該是 m^2 >= -72

2014-11-07 07:30:13 補充：
你們投二號解答也不對？！
如果你們看懂我的補充，就知道m可以是任意整數吧？！
但是前兩種解答的m？？？

不過會有這種搶點數的情形發生，無非是因為發問的學生無心學習

2014-11-07 15:44:02 補充：
！原來基本要求是整係數因式！

知道了
很感謝三位大大提醒~

不過現在才發現八週年是誰
冏

2014-11-08 00:23:24 補充：
不知道為什麼
冷眼大觀的發言

真得好幽默啊 ～ ～

Q1.
Q2.設一正數為A 另一正數為B A*B=9 而且 1/A=(1/B)*4
1/A=(1/B)*4 --->4A=B 4A^2=9 A^2=9/4
A=+3/2 -3/2(負不合) B=6 A+B=3/2+6=7.5
此題答案7.5
Q3 M^2-N^2=96 (M+N)(M-N)=96 96的質因數分解 1*96 2*48 3*32 4*24 6*16
8*12
又因M>N (M+N=96@M-N=1)M=48.5 N=47.5(不合) 以此類推 48*2 24*4
16*6 12*8 符合 此題答案為B
Q4 (X+1)(2X-9) M=-7 (X-1)(2X+9) M=7 (X+3)(2X-3) M=3 (-X+1)(-2X-9) M=7
(-X-1)(-2X+9) M=-7 (-x+3)(-2x-3) M=-3
M=7. -7 3 -3 總和(SUM) 7+(-7)+3+(-3)=0 此題為C