高一數學題目

假設 x⁴－x³－4x²＋3x＋k＝(x²＋ax＋b)(x²＋cx＋d), 因其中兩根之和是1, 所以可假設 a 是 -1, 即x⁴－x³－4x²＋3x＋k＝(x²－x＋b)(x²＋cx＋d)＝x⁴＋(c－1)x³＋(b－c＋d)x²＋(bc－d)x＋bd所以c－1＝-1 ⋯⋯⋯⋯ (i)b－c＋d＝-4 ⋯⋯⋯ (ii)bc－d＝3 ⋯⋯⋯⋯ (iii)bd＝k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (iv)由 (i) 得 c＝0代入 (iii) 得 d＝-3代入 (ii) 得 b＝-1代入 (iv) 得 k＝3
答案：k＝3.
(不是 -3,x⁴－x³－4x²＋3x＋3＝0==> (x²－x－1)(x²－3)＝0==> x＝(1＋√5)/2, (1－√5)/2, √3, -√3首兩根的和是 1)

完全針對k值的妙解，二樓高手

方程式x^4－x^3－4x^2+3x+k=0的四根中，其中有兩根之和為1，求實數k=____
Sol
設四根a，1－a，b，c
a+(1－a)+b+c=1
b+c=0
c=－b
四根a，1－a，b，－b
有因式x^2－x+p和x^2－q
(x^2－x+p)(x^2－q)=x^4－x^3－4x^2+3x+k
p－q=－4，q=3
p=－1
k=－pq=3

or有兩根之和為1
x^4－x^3－4x^2+3x+k有因式x^2－x+p
　　　　　　　ｘ２－３
　　　　　　───────────────
ｘ２－ｘ＋ｐ）ｘ４－ｘ３－４ｘ２＋３ｘ＋ｋ
　　　　　　）ｘ４－ｘ３＋ｐｘ２
　　　　　　）──────────────
　　　　　　）（－４－ｐ）ｘ２＋３ｘ＋ｋ
　　　　　　）－３ｘ２＋３ｘ－３ｐ
　　　　　　）──────────────
　　　　　　）０
So
－4－p=－3
p=－1
k=－3p=3