正整數a+b最小值

若 145a+29b=n^3，求正整數a+b最小值?
Sol
A=145a+29b=29(5a+b)
29｜n
145a+29b=(29c)^3
145a+29b=24389c^3
當c=1
5a+b=841
b=1，a=168
a+b最小值=169

29(5a+b)=n^3
5a+b=29^2=841

(a+b)+4a=841
a最大時, (a+b)最小

當b=1, a=840/5=168

所以(a+b)最小為 1+168=169

想像成小學除法的概念很棒，給一個贊

依照題目所示，a+b 為最小值的條件即是滿足 n^3值為最小

而且 n^3 = 145a+29b
= 29(5a+b)
= (29)^3 時 → n^3 值為最小 ((因為29為質數))

所以 5a+b = 29*29 = 841
此為二元一次方程式，若在此條件方程式下要 a+b 值為最小
則把 5a+b = 841 想像成小學除法驗算來求得 a、b 解
即為 841/5 = a(商數) …. b(餘數) → a=168、b=1

因此 a+b 最小值為 169