排容原理(I.E.P.)

Choosing two positions from LATO for 2P, it will be C(4,2) methods. Then, arrange the LATO for the rest four positions,
and exclude tow of the four letters in their original positions,
this leads to 4! – C(2,1)3! + C(2,2)2! So, the net way for the required rearrangement is C(4,2)( 4! – C(2,1)3! + C(2,2)2!) = 84

[法一] 令
a1 : P 在第 3 個位置
a2 : P 在第 6 個位置
a3 : L 在第 1 個位置
a4 : A 在第 2 個位置
a5 : T 在第 4 個位置
a6 : O 在第 5 個位置
N(!a1!a2...!a6) = s0 - s1 + s2 - s3 + s4 - s5 + s6
= 6!/2! - (2*5! + 4*5!/2!)
+ (c(4,2)4!/2! + (c(6,2)-c(4,2))4!)
- (c(4,3)3!/2! + (c(6,3)-c(4,3))3!)
+ (c(4,4)2!/2! + (c(6,4)-c(4,4))2!)
- 6 + 1
= 84

[法二]
令 Dn 為 n 個 positions 之亂序,
則總數就是 (D6 - 2*D5 - D4)/2!
= (265-88-9)/2! = 84

這裡我想法上是先把兩個 P 視為不同, 式子中的D6是全部的字母先做亂序排列, 2*D5 代表的是恰一個 P 跑到另一個 P 的位置, D4 就是指那兩個 P 互換位置, 而最後因為要除掉P的排列重複算的部分, 所以除以2!