Arithmetic , Geometric return

嗯，先用數學的層面解釋一下。

所謂平均數，在數學上有很多不同的定義。
針對你詢問的兩種：
(1) Arithmetic mean (算術平均數)
(2) Geometric mean (幾何平均數)

我們小時候，最簡單地說，平均數就是把所有數加起來，再除以項數數目。
這個其實只是算術平均數。

舉例：
有數字 4, 10, 22，算術平均數是 (4 + 10 + 22)/3 = 36/3 = 12。
意義上：
把 4, 10, 22 三個數加起來，就等如把同一個數 12，加三次。
即 4 + 10 + 22 = 12 + 12 + 12。

而找三個數的幾何平均數就不是找一個數可以相加起來等同於原本三數相加，而是找一個數可以自己相乘三次（立方）而等同於原本三數相乘。
因此，要找這個幾何平均數就不是把三數相加再除三，而是要把三數相乘再開三次方。
例如，對於 1, 8, 8 這三個數，幾何平均數 = ∛(1 × 8 × 8) = ∛64 = 4
可見 4 × 4 × 4 = 64 = 1 × 8 × 8。

而日常生活上什麼情況要用到幾何平均數呢？
回報率 (Return Rate) 就是一個例子。
因為當我們計算利率回報時，我們往往不是把數字計算加減，而是用乘除因子 (factor) 的方法計算，例如乘增長率 (growth rate) 會乘 (1 + r)，乘遞減率 (如折舊的情況) 會乘 (1 - d)。

回報率由於用乘除計算，使用幾何平均數才合理。

以你發問的例子來說，五年的回報率是：
10%, 15%, 20%, 25%, 30%
那麼，若你原本投資 $P，五年後，你的投資總值會變成：
$P (1+10%) × (1+15%) × (1+20%) × (1+25%) × (1+30%)

若你需要找一個「平均」回報率，即每年也有這個回報，記為 R%，那你要求的就是用這個相同的回報率計出五年後的投資總值，應該要跟以上的一樣。

$P (1 + R%)⁵ = $P (1+10%) × (1+15%) × (1+20%) × (1+25%) × (1+30%)

因此，
(1 + R%)⁵ = (1+10%) × (1+15%) × (1+20%) × (1+25%) × (1+30%)

1 + R% = [ (1+10%) × (1+15%) × (1+20%) × (1+25%) × (1+30%) ]^(1/5)

R% = [ (1+10%) × (1+15%) × (1+20%) × (1+25%) × (1+30%) ]^(1/5) - 1

以上的講解應該可以解答你的疑難。


另外想講述一點新的知識：
對於特定的一組數字，它們的 算術平均數 必不會小於 幾何平均數。
這個是著名的數學不等式 AM ≥ GM。
因此，一些希望誤導投資者的基金廣告，或者會列出算術平均數作為「平均」，因為感覺上可以吸引投資者，以為基金可以賺很多。但事實上真正的「平均」回報率，應該用幾何平均數理解才正確。


註：
其實所謂的 Arithmetic Return 和 Geometric Return 並不是直接地計算 Return 的平均數（Arithmetic Return 或者是可以這樣理解），而是可以一致地看，其實它們是在計算 (1 + Return) 的平均數 (算術或幾何)，然後再減１。

Arithmetic Return =
(10% + 15% + 20% + 25% +30%) / 5
= 20%

或可以看成：
Arithmetic Return =
[(1+10%) + (1+15%) + (1+20%) + (1+25%) + (1+30%)] / 5 - 1
= 20%

而 Geometric Return 則只可以用後者去理解。


2014-10-26 16:32:57 補充：
問：
「我想知道邊個好d
　好似話短期用Arithmetic 長期用Geometric」

答：
其實如果講回報率的話，使用 Geometric return 才是正確的。
但計算 Geometric return 的確比較麻煩，又要開次方。
所以如果數據的差異不太大，有人用 Arithmetic return 作為一個 approximation 都可以接受。
至於你所說的 短期 vs 長期 的分野，可能視乎不同的假設吧。

另一方面，想多帶出一點，講回報率的時候有時會用 simple return，有時會用 log-return。這個概念也跟以上你所發問的有關。

2014-10-26 16:39:02 補充：
★ simple return = R = P1/P0 - 1 = e^r - 1
★ log-return = r = ln(P1/P0) = ln(1 + R)

可驗證出 arithmetic mean of r = log of geometric mean of (1 + R)

2014-10-26 17:20:19 補充：
我過幾日才答你好嗎？
我暫時比較忙。

其實大約意思都是指出我說過的：

要計 compounding 用 geometric 比較合適。

以及 AM ≥ GM

2014-11-06 22:19:35 補充：
(1)
"Arithmetic Average tell you what you earn in typical year, Geometric tell you what actually earn per year, compound annually"

其實大約意思都是指出我說過的：

要計 compounding 用 geometric 比較合適。
以及 AM ≥ GM

long term 的時候, 數據較多, AM 和 GM 的分別更趨明顯, 因此用較正確的 GM 比較好。

2014-11-06 22:19:47 補充：
(2)
"Arithmetic return too high for longer period and Geometic return too low for shorter period"

short period, simple return (arithmetic return) 能清楚地計出 percentage change.

Arithmetic Mean Return