請教不定積分法一道題目。

既然設 1－x＝sin⁴u
則 √(1－x)＝sin²u
所以 1－√(1－x)＝cos²u
亦即 ln[1－√(1－x)]＝2 ln(cos u)

所以 4 ln(cos u)－2 cos²u＋C
＝2 ln[1－√(1－x)]－2[1－√(1－x)]＋C
＝2 ln[1－√(1－x)]＋2√(1－x)＋C'

(C'＝C－2)

2014-10-24 10:31:54 補充：
根據插圖，我想你問的應該是：∫1/[1-√(1-x)] d√(1-x) 是否相等於 ∫1/[1-√(1-x)] d[1-√(1-x)] 嗎？回答：不是，正確是相等於這個的負值。即∫1/[1-√(1-x)] d√(1-x) = -∫1/[1-√(1-x)] d[1-√(1-x)]
中途也搞錯了正負號，應該是(由第二行開始)：＝∫[-2√(1-x) / [1-√(1-x)] d√(1-x)＝2∫[1-√(1-x)－1] / [1-√(1-x)] d√(1-x)＝2{√(1-x)－∫1/[1-√(1-x)] d√(1-x) }＝2√(1-x)＋2∫1/[1-√(1-x)] d[1-√(1-x)]＝2√(1-x)＋2ln[1-√(1-x)]＋C
一般的做法，是令 u²＝1-x，因為這樣可以防止運算上的複雜及麻煩。所以 2u du＝-dx，即 dx＝-2u du∫1/[1-√(1-x)] dx＝∫1/(1-u) (-2u du)＝2∫(1-u＋1)/(1-u) du＝2u＋2ln(u)＋C＝2√(1-x)＋2ln[1-√(1-x)]＋C

2014-10-30 19:02:14 補充：
因為
d[1-√(1-x)]＝-d√(1-x)
所以
∫1/[1-√(1-x)] d√(1-x) = -∫1/[1-√(1-x)] d[1-√(1-x)]

http://postimg.org/image/tl81ijpyl/

2014-10-23 02:47:20 補充：
dx = - d(1-x)

2014-10-23 19:15:18 補充：
對， 還可以再簡化

in 1/xdx= ln|x|+c 才對

2014-10-22 22:10:35 補充：
但這用了u=1+√(1-x), 你想問若果這一步也不代用u嗎?

請見:
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