| a^(a+1) - (a+1)^a | =1

For all n＞0，(n＋1)/(n＋2)－n/(n＋1)＝[(n＋1)^2－n(n＋2)]/[(n＋1)(n＋2)]＝1/[(n＋1)(n＋2)]＞0∴ (n＋1)/(n＋2)＞n/(n＋1) for all n＞0 ⋯⋯ (*)
P(n)：n^(n＋1)/(n＋1)^n＞1 for all integers n＞2When n＝3,LHS＝3^4 / 4^3＝81/64＞1＝RHS∴ P(3) is true.Assume P(k) is true, ie.k^(k＋1)/(k＋1)^k＞1When n＝k＋1LHS＝(k＋1)^(k＋2)/(k＋2)^(k＋1)＝(k＋1)*(k＋1)^(k＋1)/(k＋2)^(k＋1)＝(k＋1)*[(k＋1)/(k＋2)]^(k＋1)＞(k＋1)*[k/(k＋1)]^(k＋1) ⋯⋯ (from (*))＝k^(k＋1)/(k＋1)^k＞1So, n＝k＋1 is also true.According to MI, P(n) is true for all integer greater than 2.
It can be deducted thatn^(n＋1)/(n＋1)^n＞1==> n^(n＋1)＞(n＋1)^n==> n^(n＋1)－(n＋1)^n＞0 for n greater than 2So, it is not true for n＝1 or 2.When n＝1，1^2－2^1＝1－2＝-1,When n＝2，2^3－3^2＝8－9＝-1.So, if | a^(a＋1)－(a＋1)^a |＝1 and a is a positive integer,then a＝1 or 2.

2014-10-22 09:38:19 補充：
P(n) 已經指出 當 n 大於 2 時，n^(n+1)/(n+1)^n 的比例大於1，
即 當 n 大於 2 時，n^(n+1)－(n+1)^n 永遠大於1。
所以對於你這條題目，是無需考慮 n＞2 的。

2014-10-22 12:32:45 補充：
對不起，是
當 n 大於 2 時，n^(n+1)－(n+1)^n 永遠大於 0。

而當 n 大於 2 時，n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。

2014-10-22 20:17:17 補充：
P(n) 不是利用咗 (*) 來證明了嗎？

2014-10-22 23:56:36 補充：
LHS
＝(k＋1)^(k＋2)/(k＋2)^(k＋1)
＝(k＋1)*(k＋1)^(k＋1)/(k＋2)^(k＋1)
＝(k＋1)*[(k＋1)/(k＋2)]^(k＋1)
＞(k＋1)*[k/(k＋1)]^(k＋1) ⋯⋯ (from (*))
＝k^(k＋1)/(k＋1)^k
＞1
所以 n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。

謝謝 自由自在 知識長的提點，2n不是質數，此路不通。
若有其他正解，我會刪走我的。
(a 是奇數的解說也是有問題的。)

少年時的回答我有以下問題：
（1） (2n)^(2n+1)＝(2n+1)^(2n)＋1 (無正整數解)：這個如何證明？
（2） 假設 (2n+1)^n＋1＝(2n)^p 及 (2n+1)^n－1＝(2n)^q：因2n不是質數，這個設法只是其中一個可能性，少年時你沒有再分析其他的可能性！
（3） (2n-1)^(2n)＝(2n)^(2n-1)＋1 (無正整數解)：這個如何證明？
（4）(2n-1)^(2n)＝(2n)^(2n-1)－1=> (2n-1)^(2n)＝(2n－1)[(2n-1)^(2n-2)＋(2n-1)^(2n-3)＋⋯⋯＋1] ：這個好像算錯了！

2014-10-20 15:08:13 補充：
（5）==> 2n－1＝0 ==> n＝1所以 a＝1：這個也是算錯吧？

2014-10-22 11:35:35 補充：
邊位都好: 比如說 999/998 > 1,但我們不能說999 - 998 >1

2014-10-22 16:58:59 補充：
而當 n 大於 2 時，n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。
這句話應該是對的,但如何證明呢?

2014-10-22 21:03:14 補充：
我是問如何證明n^(n+1) 與 (n+1)^n 的相差是越多越大的。

2014-10-23 21:29:50 補充：
Suppose a^(a+1)-(a+1)^a=1 for a>2
a^(a+1) - (1 + C(a,1) a+C(a,2) a^2+⋯+a^a)=1
Take modulo a^2,0-(1+a^2+0+0+⋯) ≡ 1(mod a^2)
-1≡1 (mod a^2 ) contradiction
Hence a^(a+1)-(a+1)^a≠1

又係 a = 2???