三角函數 已知 A+B+C=180度，試證tan(A/2)t

三角函數 已知 A+B+C=180度，
試證tan(A/2)tan(B/2)+ tan(B/2)tan(C/2)+ tan(C/2)tan(A/2)=1

A+B+C=180 度 --> A/2+B/2+C/2=90 度 ---> C/2=90度 - A/2 - B/2
tan(A/2)tan(B/2)+ tan(B/2)tan(C/2)+ tan(C/2)tan(A/2)
=tan(A/2)tan(B/2)+ tan(B/2)tan(90 - A/2 - B/2)+ tan(90 - A/2 - B/2)tan(A/2)
=tan(A/2)tan(B/2)+ [tan(A/2)+tan(B/2)][1/tan(A/2+B/2)]
=tan(A/2)tan(B/2)+ [tan(A/2)+tan(B/2)][1-tan(A/2)tan(B/2)]/[tan(A/2)+tan(B/2)]
=tan(A/2)tan(B/2)+ 1-tan(A/2)tan(B/2)]
=1

三角形ABC中，若2 tan(A/2)tan(B/2)-3 tan(B/2)tan(C/2)-3 tan(C/2)tan(A/2)=0，求tan(A/2)tan(B/2)=？

2 tan(A/2)tan(B/2)-3 tan(B/2)tan(C/2)-3 tan(C/2)tan(A/2)=0
2 tan(A/2)tan(B/2)=3 [tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2)]
tan(A/2)tan(B/2)=(3/2) [tan(A/2)+tan(B/2)] [1/tan(A/2+B/2)]
=(3/2) [tan(A/2)+tan(B/2)] [1-tan(A/2)tan(B/2)]/[tan(A/2)+tan(B/2)]
=(3/2)[1-tan(A/2)tan(B/2)]
(5/2)tan(A/2)tan(B/2)=3/2

tan(A/2)tan(B/2)=3/5

在第一部分中：

已知： C/2 = 90° - A/2 - B/2

所以 tan(90° - A/2 - B/2) = tan(C/2)
無需轉成 1/tan(A/2 + B/2)