1.每行特意只用一個 lim{ｎ→∞} 以表示=號左右兩數使用相同的變數
底下增加{}以表此意
=> lim{ｎ→∞} { (1+1/n)= 1 }
=> ∀t>0,t與n同域, lim{ｎ→∞} { (1+1/n)^t= 1^t }
=> lim{ｎ→∞} { (1+1/n)^n= 1^n }
...
2.因為不了解n的細節及一般可能的各種解釋 於此特意這麼說" ∀t>0,t與n同域"
n可視為t的特例 其它一切不變
請把n視為t的特例大概就可理解
2014-09-30 00:53:17 補充：
3.你寫的這式子看不太懂：
lim_{t→∞}lim_{n→∞} (1+1/n)^t ≠ lim_{n→∞}lim_{t→∞} (1+1/n)
前說過了
2014-09-30 12:31:47 補充：
回意見005
一般的極限式通常未指名n的數域
說它是正整數應該沒問題 有問題的地方是n=∞時
此種書寫較長 所以暫不討論此問題 (雖然自知稍知曉 但於此證算是節外生枝)
.證明中只說"n可視為t的特例" 並未說t是n的函數 t是個數 不是函式
所以你說的"t(n)"的那些東西 就暫時跳過 或者你可再說清楚點
2014-09-30 12:34:09 補充：
回意見006:
說過"n可視為t的特例" 式子也可這樣考慮
=> ∀t>0,t與n同域, lim{ｎ=t} { (1+1/t)^t= 1^t }
=> 當t→∞時
lim{ｎ→∞} { (1+1/n)^n= 1^n }
回意見007: 可能已提過
所提的例子 看不出與此證有何相干 但還是回我的看法
如果例子的意思是：
lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e
=>lim_{n→∞} (1+1/n)^{n^2} = ∞
=>lim_{n→∞} (1+1/n)^{√n} = 1 <-- 這項怎麼來的？
∀t>0,t與n同域, lim{ｎ→∞}(1+1/n)^t= 1^t
=> lim{ｎ→∞}(1+1/n)^n= 1^n
以上不正確.
前者 t 與 n 是不相干變數, n 趨於無窮, t 固定, 所以才有
lim{ｎ→∞}(1+1/n)^t= 1^t
後者 (1+1/n)^n 之乘冪跟著變, 不能把它和 (1+1/n) 之極
限分開算.
lim_{t→∞}lim_{n→∞} (1+1/n)^t ≠ lim_{n→∞}lim_{t→∞} (1+1/n)^t
≠ lim_{n→∞} (1+1/n)^n
2014-09-30 09:05:53 補充：
我不確知你說的 "同域" 究竟是什麼意思.
如果 t 不是獨立於 n 之外的變數, 而是與 n 有關的, 以 t(n) 表示之,
那麼, 你不能寫
lim_{n→∞} (1+1/n)^{t(n)} = 1^{t(n)}
甚至也不能寫
lim_{n→∞} (1+1/n)^{t(n)} = lim_{n→∞} 1^{t(n)}.
前者的錯是極明顯的, 已組讓 n→∞ 而取極限了, 怎會還留下 t(n) 這東西?
後者的錯是: 由於 (1+1/n) 與 t(n) 都和 n 有關, 考慮 n→∞ 時的極限,
不能分開考慮.
2014-09-30 09:10:51 補充：
如果 t 是獨立於 n 之外的, 當然可以寫
lim_{n→∞} (1+1/n)^t = 1^t.
而我在前面最後一個不等式, 是在述說: 有兩個變數時, 取極限
的順序是重要的. 具體地說就是: 若考慮 t, n 都趨於無窮時
(1+1/n)^t 的行為, 那麼, 先令 n→∞ 或先令 t→∞ 結果是不同
的; 當然兩者也與限定 t=n 而讓其共同值趨於無窮結果不同.
2014-09-30 09:13:35 補充：
lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e
lim_{n→∞} (1+1/n)^{n^2} = ∞
lim_{n→∞} (1+1/n)^{√n} = 1
想一想為什麼以上三個結果不同吧.
2014-10-04 10:56:20 補充：
如果 t 是與 n 不相干的, 不管 t 的 "域" 是否同於 n 的,
並不影響 lim_{n→∞}(1+1/n)^t = {lim_{n→∞}(1+1/n)}^t = 1^t = 1.
並且, 上述極限, n 的範圍是限制在正整數, 或者是任意實數, 結論
是一樣的.
2014-10-04 11:04:07 補充：
lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e
lim_{n→∞} (1+1/n)^{n^2} = ∞
lim_{n→∞} (1+1/n)^{√n} = 1
這三個極限, 我並沒有說定們有任何蘊涵關係.
當然, 事實上第一個極限蘊涵後兩個. 不過, 最後一個與第2個
之間並沒有蘊涵關係.
2014-10-04 11:04:31 補充：
(1+1/n)^{n^2} = [(1+1/n)^n]^n > [(1+1/n)^n]^N 當 n > N.
因此 lim (1+1/n)^{n^2} 不小於 [lim (1+1/n)^n]^N = e^N, 對所有 N.
所以 lim (1+1/n)^{n^2} = ∞
2014-10-04 11:04:41 補充：
1 < (1+1/n)^{√n} = [(1+1/n)^n]^{1/√n} < [(1+1/n)^n]^{1/√N}, 當 0 < N < n.
所以, 1 =< lim (1+1/n)^{√n} =< e^{1/√N}, 對任意 N > 0.
再令 N →∞, 即得證 lim (1+1/n)^{√n} = 1.
