高中數學三角函數

ΔABC之內切圓半徑=r,外接圓半徑=R,內切圓切ABC三邊於D,E,F,求ΔDEF:ΔABC=? (以R,r表示)
Set O=內心, a=BC, b=CA, c=AB => s=(a+b+c)/2則內心諸圓心角與諸Δ頂角互補
由ΔABC正弦定律: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=> sinA=a/2R, sinB=b/2R, sinC=c/2R
由正弦面積公式:ΔOEF=r^2*sin(180-A)/2=(r^2*sinA)/2=a*r^2/4R
同樣的方法:ΔODF=b*r^2/4RΔODE=c*r^2/4R
則ΔDEF=ΔOEF+ΔODF+ΔODE=(a+b+c)r^2/4R=2s*r^2/4R=s*r^2/2R=r*ΔABC/2R......ΔABC=r*s=> ΔDEF:ΔABC=r:2R