證明數線上任取一個區間，一定存在至少一個有理數和無理數

若此a，b為有理數 則c=(a+b)/2 均值c仍為有理數 可依此法在(a,b)中找出無限多個有理數 同理 若此a，b為無理數 則可在(a,b)中找出無限多個無理數

根據新的證明:
https://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1014092703987
可推得 ∀a,b∈ℝ, a≠b, 區間(a,b)中存在無限多個"實數"

2014-09-29 12:51:00 補充：
以上是有點開玩笑...

對於給予的'實數'區間(a,b)
可設一函式f(x)= (x-a)/(b-a)
此f(x)可將(a,b)中的數轉換成(0,1)中的數
算出f(x)的反函式g(x),則可根據以知在(0,1)中的有理數無理數
算出在區間(a,b)中的有理數無理數

實數區間(a,b)存在無限個有理數和無理數

2014-10-03 23:48:44 補充：
>...把(0,1)中的數代入g(x)確實能得到(a,b)中的數，但如何確定(a,b)中一定有理數和無理數?

g(x)轉換的運算只用單純的+-* 有理數運算的結果還是有理數
無理數運算的結果還是無理數

高微教本大概都會有 "兩實數之間必存在一有理數" 的證明,

若說實數 a < b, 必存在有理數 c 使 a < c < b.
於是, 存在有理數 d, e 使 a < d < c < e < b.
這樣的取有理數的方法無窮無盡, 因此區間 (a,b) 之內的有理
數是無窮的.

2014-09-30 00:28:48 補充：
要證明 a 與 b 之間也存在無理數, 間接證法是認識到
"有理數只有可數無窮多個", 而 "實數有不可數無窮多個".
由於一個實數不是有理數就是無理數, 因此證明了 a, b
之間 (a < b) 有無窮多個有理數.

直接的證法是應用類似證明存在有理數的方法, 證明確實存在
無理數於 a, b 之間.

2014-09-30 00:36:04 補充：
具體的證明有理數存在的過程大概是:

在不失一般性的情況下, 不妨假設 b > a > 0.

取正整數 n > 1/(b-a), 即 1/n < b-a.
則必存在正整數 m, 使 a < m/n < b.

存在 m 使 m/n > a 的理由是: 對任意正實數 x, y,
存在正整數 n 使 nx > y.


那麼, 會不會 (m-1)/n < a < b < m/n? 不會, 因為這
違背了 1/n < b-a 的條件.

2014-10-04 11:16:49 補充：
你更正地沒錯.

本來就是要證明有無窮多個無理數, 而我卻將結論打成 "有理數",
明顯的錯誤.

感謝 Paul Liao 的分享

2014-09-30 11:33:41 補充：
To 老怪物:「有理數只有可數無窮多個", 而 "實數有不可數無窮多個".由於一個實數不是有理數就是無理數, 因此證明了 a, b之間 (a < b) 有無窮多個有理數.」是否打錯?

應是「因此證明了 a, b之間 (a < b) 有無窮多個無理數」吧。

不過還是感謝你的分享。謝謝。

https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1377349583.A.6CB.html

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我無法做到「嚴謹的數學證明」，不過能比打廣告的那兩位對你有較大的幫助。
(我打不出根號，將以( )代替，若有三次方根的情形，以3( )代替，以此類推)
設b=2、a=1
這之中的有理數有包括小數(為有盡的)、和分數(例:4/3、5/4、8/7、9/7、10/7......)
這之中的無理數有(2)、(2.1)、(2.2)、..........3(1.3)、3(1.4)、3(1.5).........
這該能回答你的問題吧!