高中數學-簡單多項式函數及其圖形

阿果，讓我來解說一下：

二次函數 f(x) = ax² + bx + c 的圖形通過 (0,6)
即 6 = 0 + 0 + c，即 c = 6。

f(x) 在 x = 1 處有最大值 8，
這裏有兩個信息：
（１）f(1) = 8 即 8 = a + b + c 即 a + b = 2
（２）-b/(2a) = 1 即 b = -2a　〔註〕

〔註〕
f(x) = ax² + bx + c
　 = a(x² + b/ax) + c
　 = a[x² + 2(b/(2a))x + (b/(2a))² - (b/(2a))²] + c
　 = a[x² + 2(b/(2a))x + (b/(2a))²] - b²/(4a) + c
　 = a[x + b/(2a)]² - b²/(4a) + c
即是令 f(x) 達至極值的 x 是 -b/(2a)

由（１）和（２）可知 a - 2a = 2
即 a = -2，b = 4，c = 6。

f(x) = -2x² + 4x + 6 = -2(x² - 2x - 3) = -2(x + 1)(x - 3)
A點 和 B點 是 (-1, 0) 和 (3, 0)
相距是 4 。

因此，判斷句子：
(1) a = -2〔正確〕
(2) b = -4〔錯誤〕
(3) c = 6〔正確〕
(4) B點 坐標為 (2,0)〔錯誤〕
(5) AB線段 = 4 〔正確〕

把(0,6)代入f(x)得c=6, f(x)=ax^2+bx+6
把(1,8)代入f(x)得 a + b = 2 ~ ~ 式一
畫f(x)圖形的草稿, f(x)通過(0.6)&(1,8), 在點(1,8)有最大值, 又與x軸交於兩點, 你應該會畫出一個凹向下型二次函數
畫出f(x)的對稱軸, 標記(0,6)的對稱點(x',6), 利用條件"兩點到對稱軸的距離相等"求出x'=2, 再將此對稱點(2,6)代入f(x)得 b = -2a ~ ~ 式二
聯立式一和式二得 a=-2, b=4, 故 f(x) = -2x^2 + 4x + 6, 選項(1)~(3)已解

選項(4)：f(x)=-2x^2 + 4x + 6=0 先用十字交乘法試試, 不行再用公式解

選項(5)：AB線段=|XA-XB|=|f(x)兩根差|, 如果以後碰到這種題目不想直接解x以免可能的計算麻煩, 那麼試試以下方法：
平方和公式和平方差公式:(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab
多項式ax^2+bx+c=0的兩根和=-b/a, 兩根積=c/a
故所求 = [ (兩根和)^2-4(兩根積) ] ^1/2 = 4

2014-09-26 02:53:09 補充：
樓上求a,b值的方法快多了,直接套極值點公式, 我很久沒碰這些東西,所以直接解時提供了比較慢的方法