Circle

1.
C1: x² + y² - 6x - 8y = 0
C1 的圓心 = (6/2, 8/2) = (3, 4)
C1 的半徑 = √[(6/2)² + (8/2)²] = 5

兩圓心連線的方程:
(y - 2)/(x - 1) = (4 - 2)/(3 - 1)
(y - 2)/(x - 1) = 1
x - 1= y - 2
x - y + 1 = 0

當兩圓相切，切點與兩圓心共線。
C1: x² + y² - 6x - 8y = 0 ...... [1]
兩圓心連線: x - y + 1= 0 ...... [2]

由 [2]:
y = x + 1 ...... [3]

把 [3] 代入 [1] 中:
x² + (x + 1)² - 6x - 8(x + 1) = 0
x² + x² + 2x + 1 - 6x - 8x - 8 = 0
2x² - 12x - 7 = 0
x = (6 ± 5√2)/2

把 x 之值代入 [3] 中:
y = [(6 ± 5√2)/2] + 1
y = (8 ± 5√2)/2

切點：((6 + 5√2)/2, (8 + 5√2)/2) 或 ((6 - 5√2)/2, (8 - 5√2)/2)

兩圓心連線 (y = x + 1) 的斜率 =1
共同切線的斜率 = -1

共同切線的方程:
{y - [(8 + 5√2)/2]} / { x - [(6 + 5√2)/2]} = -1 或 {y - [(8 - 5√2)/2]} / { x - [(6 - 5√2)/2]} = -1
y - [(8 + 5√2)/2] = -x + [(6 + 5√2)/2] 或 y - [(8 - 5√2)/2] = -x + [(6 - 5√2)/2]
x + y - 7 - 5√2 = 0 或 x + y - 7 + 5√2 = 0


====
2.
外心 (6, 1) 與頂點 (1, 2) 的距離
= √[(6 - 1)² + (1 - 2)²]
= √26

外心 (6, 1) 與頂點 (5, -4) 的距離
= √[(6 - 5)² + (1 + 4)²]
= √26

設第三頂點為 (x, y)。

外心與三頂點等距。
外心 (6, 1) 與頂點 (x, y) 的距離 = √26
√[(x - 6)² + (y - 1)²] =√26
(x - 6)² + (y - 1)² = 26
x² - 12x + 36 + y² -2y + 1 = 26
x² + y² -12x - 2y + 11 = 0

不能求得第三頂點的坐標。
只知第三頂點在圓 x² + y² -12x - 2y + 11 = 0 上一點，但不是 (1, 2) 或(5, -4)。