我有一些國二的數學問題想請教各位

1)設三個正整數 x ≤ y ≤ z ,依題意得正整數
(x+y-1)/z ≤ (z+x-1)/y ≤ (y+z-1)/x。
有 1 ≤ (x+y-1)/z < (z+z)/z = 2 , 故 (x+y-1)/z = 1 ⇒ z = x+y-1。
於是 (z+x-1)/y = (2x+y-2)/y = 1 + (2x-2)/y ,
有 1 ≤ 1 + (2x-2)/y < 1 + 2y/y = 3 , 故 1 + (2x-2)/y = 1 或 2
⇒ x = 1( 捨去因(y+z-1)/1 餘0) 或 y = 2x-2 , 得 z = 3x-3。
即三個正整數為 x , 2x-2 , 3x-3 , 得
(2x-2 + 3x-3 - 1)/x = (5x-6)/x = 5 - 6/x 為正整數 ⇒ x = 2 , 3 , 6
∴ (x , y , z) = (2 , 2 , 3) , (3 , 4 , 6) 或 (6 , 10 , 15)。
2)把 7 × 3 方格板染色如下:
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假設存在使每個方格被覆蓋的層數都相同的覆蓋,明顯每個L形最多覆蓋一個黑格。設每個方格被覆蓋了n 層, 則共有 7×3 n / 3 = 7n 個L形。
由於每個L形至多覆蓋一個黑格, 而所有7個黑格被覆蓋總次數為7n, 於是所有L形都恰好覆蓋一個黑格。
從而上、中列白色區域不能包含任何完整的L形,由對稱性知以下灰色區域不能包含任何一個完整的L形:
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□■□■□■□另一方面,中、下列白色區域亦不能包含任何完整的L形,同樣由對稱性知以下灰色區域不能包含任何一個完整的L形 :
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■□■□■□■在以上禁區限制下, n個覆蓋左、右上角黑格的L形方向非┌ 即 ┐,故此無論如何上列非中央的兩白格與它們各自相鄰的黑格同時被覆蓋了n次。
於是上列其餘的左黑格必被n個┌ 的角位覆蓋n次,而右黑格必被n個 ┐的角位覆蓋了n次,那麼上列的中心白格將被覆蓋2n次,矛盾!因此使每個方格被覆蓋的層數都相同的覆蓋辦法是不存在的。

3)3x⁴+ 6x³ + 11x² + 8x + 52
─────────────────
　　　(x² + x + 3)²=3x⁴+ 6x³ + 11x² + 8x + 52
─────────────────
　x⁴+ 2x³ + 7x² + 6x + 9=(3x⁴+ 6x³ + 21x² + 18x + 27) - (10x² + 10x - 25)
──────────────────────────────
　　　　　x⁴+ 2x³ + 7x² + 6x + 9= - 10(x² + x + 3) + 55
───────────── + 3
　　(x² + x + 3)²=　　55　　　　　　10
───────　－ ────── + 3　
(x² + x + 3)²　　 x² + x + 3
令 1 / (x² + x + 3) = y ,
則 f(x) = 55y² - 10y + 3
= 55( y² - 2(5/55)y + (5/55)² - (5/55)² ) + 3
= 55( (y - 1/11)² - 1/121 ) + 3
= 55(y - 1/11)² + 28/11
考慮 x² + x + 3 = (x² + 2(½)x + ¼) + 3 - ¼ = (x + ½)² + 11/4,
y = 1 / ( (x + ½)² + 11/4 ) , 得 y ≤ 4/11。
當 y = 1/11 時, f(x) 取最小值 28/11 ;
當 y = 4/11 時, f(x) 取最大值 73/11。


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA04628698/o/360336403.jpg

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