點解a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

從(a-b)(a²+ab+b²)到a³-b³:

(a-b)(a²+ab+b²)

=a(a²+ab+b²)-b(a²+ab+b²)

=a³+a²b+ab²-a²b-ab²-b³

=a³-b³






從a³-b³到(a-b)(a²+ab+b²):

a³ - b³

=a³ - a²b + a²b - b³

=a²(a-b) + b(a² - b²)

=a²(a-b) + b(a+b)(a-b)

=(a-b)[a² + b(a+b)]

=(a-b)(a² + ab + b²)

a³ - b³
=a³ - a²b + a²b - b³
=a²(a-b) + b(a² - b²)
=a²(a-b) + b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a² + b(a+b)]
=(a-b)(a² + ab + b²)

要得到a^3-b^3，就聯想到：(a-b)(a+b)^2=a^3+ba^2-ab^2-b^3
所以可以從這裡入手：(a-b)(a+b)^2=a^3+ba^2-ab^2-b^3
a^3-b^3
=(a-b)(a+b)^2-ba^2+ab^2
=(a-b)(a+b)^2-ab(a-b)
=(a-b)(a^2+2ab+b^2-ab)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)

2014-09-17 05:17:00 補充：
其實如果同學是未教到等式，可以從：
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
a^3-b^3=(a-b)(a+b)^2
這方向想。
到你學等式的時候，會更易明白。
:-)

2014-09-17 05:19:12 補充：
又唔見咗D字：
a^3-b^3=(a-b)(a+b)^2-ba^2+ab^2

等式中的等號 (=)
沒有必須 由左至右 的這一種方向性

等式好比一個平衡的天秤
而等號的意思是左右兩邊相等
即使把天秤左右兩邊的物件掉轉
也不影響天秤的平衡
所以等式是沒有方向性的
例如當知道 2(x + 1) = 2x + 2 時
我們也可以寫 2x + 2 = 2(x + 1)

所以你所說
a^3-b^3 轉到(a-b)(a^2+ab+b^2) 的步驟
其實就只是把之前證明好的兩邊掉轉
原理就好比將天秤左右兩邊的物件掉轉
不會影響天秤的平衡


註:
你也應該知道這是條恆等式 (Identity)
恆等式是一種特別的等式
恆等式的變數不論代入甚麼數字
左右都會相等

Chun Hin，用長除法。

a² - b² = (a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³)
a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)

見到規律

你可以試
(a^n - b^n) ÷ (a - b) 就可得你的一般結果。

2014-09-16 11:00:13 補充：
但首先，若你要明白為何 (a^n - b^n) 可被 (a - b) 整除，就要學習中四的因式定理 (factor theorem)。

2014-09-16 11:29:29 補充：
Chun Hin，客氣了～
以上意見００２的未必看明白，但意見００１的你應該可以看明白。
加油！

另外，Victor 老師說的是正確的，請也看看學習一下數學的思維。


Victor 老師，我或許理解 Chun Hin 的意思，我感覺到他發問背後的精神是，他需要的不是單單明白為何 A = B，而是想知道為何可以知道 A 可以寫成 B 的樣式。

其實我昨晚答題時也遇到類似的問題，請看看我現正在投票中的一題，那裏發問者問 Crammer's Rule 的證明，但我也覺得我的回答只屬一個verification，若說是證明，那只是 2 × 2 的層面。所以我未必能完全解答他。