高中數學直線排列

要使(a-1) (b-2) (c-3) (d-4) (e-5) ≠ 0 , 必須 a≠1 , b≠2 , c≠3 , d≠4 及 e≠5。
問題等價於重排 12345 使每一個數字都不在原來位置的排法有幾種。
12345 共 5! 種排法, 記 R(n) 為恰有 n 個數字在原來位置的排法數。
例如 :
R(5) = 1 , 即 12345 共 1 種排法恰有 5 個數字在原來位置。
R(4) = 0 即沒有排法恰有 4 個數字在原來位置。所求排法數 = 5! - R(1) - R(2) - R(3) - R(4) - R(5)扣除至少有1個數字在原來位置的排法數(多扣了至少有2個數字在原位的排法數):
5! - (5C1)4! = 5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)補回至少有2個數字在原來位置的排法數(多補了至少有3個數字在原位的排法數):
5! - (5C1)4! + (5C2)3! =
5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)
　　　　　 + (2C2)R(2) + (3C2)R(3) + (4C2)R(4) + (5C2)R(5)扣除至少有3個數字在原來位置的排法數(多扣了至少有4個數字在原位的排法數):
5! - (5C1)4! + (5C2)3! - (5C3)2! =
5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)
　　　　　　+ (2C2)R(2) + (3C2)R(3) + (4C2)R(4) + (5C2)R(5)
　　　　　　　　　　　　- (3C3)R(3) + (4C3)R(4) + (5C3)R(5)補回至少有4個數字在原來位置的排法數(多補了至少有5個數字在原位的排法數):
5! - (5C1)4! + (5C2)3! - (5C3)2! + (5C4)1! =
5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)
　　　　　　+ (2C2)R(2) + (3C2)R(3) + (4C2)R(4) + (5C2)R(5)
　　　　　　　　　　　　- (3C3)R(3) + (4C3)R(4) + (5C3)R(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 + (4C4)R(4) + (5C4)R(5)扣除至少有5個數字在原來位置的排法數 :
5! - (5C1)4! + (5C2)3! - (5C3)2! + (5C4)1! - (5C5)0! =
5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)
　　　　　　+ (2C2)R(2) + (3C2)R(3) + (4C2)R(4) + (5C2)R(5)
　　　　　　　　　　　　- (3C3)R(3) - (4C3)R(4) - (5C3)R(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (4C4)R(4) + (5C4)R(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 - (5C5)R(5)
44 = 5! - R(1) - R(2) - R(3) - R(4) - R(5)
使(a-1) (b-2) (c-3) (d-4) (e-5) ≠ 0 的排法有 44 種 ,
故使(a-1) (b-2) (c-3) (d-4) (e-5) = 0 的排法有 5! - 44 = 76 種。
甲勝情況一 : 甲再勝2場,乙再勝2場, 注意末局甲勝並扣除乙連勝3場的情況 :
甲甲乙甲乙乙甲
甲甲乙乙甲乙甲 甲勝情況二 : 甲再勝2場,乙再勝1場 :
甲甲乙甲乙甲
甲甲乙乙甲甲甲勝情況三 : 甲再勝2場,乙再勝0場 :
甲甲乙甲甲乙勝情況一 : 甲再勝0場,乙再連勝2場 :
甲甲乙乙乙乙勝情況二 : 甲再勝1場,乙再勝3場 :
甲甲乙甲乙乙乙
甲甲乙乙甲乙乙綜上共有 8 種 不同的情形可決定輸贏。

2014-09-16 18:12:39 補充：
+ - 號修正 :

扣除至少有3個數字在原來位置的排法數(多扣了至少有4個數字在原位的排法數):
5! - (5C1)4! + (5C2)3! - (5C3)2! =
5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)
　　　　　　+ (2C2)R(2) + (3C2)R(3) + (4C2)R(4) + (5C2)R(5)
　　　　　　　　　　　　- (3C3)R(3) - (4C3)R(4) - (5C3)R(5)

2014-09-16 18:12:52 補充：
補回至少有4個數字在原來位置的排法數(多補了至少有5個數字在原位的排法數):
5! - (5C1)4! + (5C2)3! - (5C3)2! + (5C4)1! =
5! - (1C1)R(1) - (2C1)R(2) - (3C1)R(3) - (4C1)R(4) - (5C1)R(5)
　　　　　　+ (2C2)R(2) + (3C2)R(3) + (4C2)R(4) + (5C2)R(5)
　　　　　　　　　　　　- (3C3)R(3) - (4C3)R(4) - (5C3)R(5)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 + (4C4)R(4) + (5C4)R(5)