高中數學習題

1.設正數a之小數部分為b，且a^2+2b^2=15，求a+2b。
Sol
設 a=n+b，n為正整數或0，0<b<1
0<b^2<1
0<2b^2<2
a^2<a^2+2b^2<2+a^2
a^2<15<2+a^2
13<a^2<15
√13<a<√15
√13<n+b<√15
n=3
a=3+b
(b^2+6b+9)+2b^2=15
3b^2+6b－6=0
b^2+2b－2=0
b=(－2+√12)/2=√3－1 負不合
a+2b=(3+b)+2b=3+3b=3+3√3－3=3√3

2.若一正數a之小數部分為b，且a^2+b^2=18，求a+b
Sol
設 a=n+b，n為正整數或0，0<b<1
0<b^2<1
a^2<a^2+b^2<1+a^2
a^2<18<1+a^2
16<a^2<17
√16<a<√17
4<n+b<√17
n=4
a=4+b
(b^2+8b+16)+b^2=18
2b^2+8b－2=0
b^2+4b－1=0
b=(－4+√20)/2=√5－2 負不合
a+b=(4+b)+b=4+2b=2√5

3.設a，b，c皆為整數，已知5｜a－1∣+2∣b+1∣+∣c－2∣=4，其解
數對(a，b，c)共有幾組?
Sol
5｜a－1∣+2∣b+1∣+∣c－2∣=4
5｜a－1∣=0
a=1
2∣b+1∣+∣c－2∣=4
(1)∣b+1∣=0
b=－1
∣c－2∣=4
c=－2 or c=6
1*1*2=2…………………
(2)∣b+1∣=1
b=－2 or b=0
∣c－2∣=2
c=0 or c=4
1*2*2=4………………….
(3)∣b+1∣=2
b=－3 or b=1
∣c－2∣=0
c=2
1*2*1=2………………….
綜合(1)，(2)，(3)
2+4+2=8組

1.a = n + b a^2 + 2b^2 = 15(n+b)^2 + 2b^2 = 15n^2 + 2nb + 3b^2 = 15 n = 0, 1, 2或 3 n = 39 + 6b + 3b^2 = 15b^2 + 2b – 2 = 0b = √3 – 1, -√3 – 1 (不合)a + 2b = (3 + √3 – 1)+ 2(√3 – 1) = 1 + 2√3 = 3√3 n = 24 + 4b + 3b^2 = 153b^2 + 4b – 11 = 0b = (-2 ±√37)/3 (不合)同理, n = 0, 1, b > 1, 不合 所以a + 2b = 3√3 2.a^2 + b^2 = 18n^2 + 2nb + 2b^2 = 18n = 0, 1, 2, 3, 4 n = 416 + 8b + 2b^2 = 18b^2 + 4b – 1 = 0b = √5 – 2, -√5 – 2(不合)n = 0, 1, 2, 3, b > 1 所以 a + b = (4 + √5 – 2) + (√5 – 2) = 2√5 3.5｜a-1｜+2｜b+1｜+｜c-2｜= 4 a – 1 = 0, a = 1 (｜b+1｜,｜c-2｜)= (2,0),(1,2),(0,4) (b + 1 , c – 2) =( ±2,0) ,( ± 1, ±2),(0, ± 4)(b,c) = (-1 ±2,2+0), ( -1± 1,2 ±2), (-1+0,-2 ± 4) (a,b,c) = (-1,1,2),(-1,-3,2), (-1,0,4),(-1,-2,4),(-1,0,0),(-1,-2,0), (-1,-1,2),(-1,-1,-6) 八個