高中的數學經典範例II

1.在0<x<1的條件下，x^2(1－x)的最大值是?
Sol
f(x)=x^2(1－x)=x^2－x^3
f’(x)=2x－3x^2
f”(x)=2－6x
當f’(x)=0
2x－3x^2=0
x(2－3x)=0
x=0 or x=2/3
f”(0)=2>0最小值
f”(2/3)=2－6*(2/3)=－4<0最大值
0<2/3<1
f(2/3)=(2/3)^2－(2/3)^3=4/9－8/27=4/27
最大值=4/27

2.表面積為54平方公尺的長方體紙箱的最大體積是多少?
Sol
長方體長=a公尺，寬=b公尺，高=c公尺
ab+ac+bc=27
(ab+ac+bc)/3>=[(ab)*(ac)*(bc)]^(1/3)
9>=(abc)^(2/3)
9^(3/2)>=abc
27>=abc
最大體積是27立方公尺

第一題也是可以用算幾不等式的作法.

2014-09-05 23:36:07 補充：
[X + X + (1-X)] / 3 >= (X x X x (1-X)) ^ 1/3
這個式子看得懂嗎?
右邊小寫x 是乘號, 1/3 次方是開三次方,
上述式子是沒錯,但算不出來,因為左邊不是常數,還有X在裏面,
要想辦法讓X消失.
改成 [X + X + 2(1-X)] / 3 >= (X x X x 2(1-X)) ^ 1/3
再化簡即可,自己化簡看看,做不出來再問.