急...國中(?)數學問題 蠻難的喔...

1.某正整數被3除餘1，被5除餘2，被7除餘3，若此數為三位數，則此數最小可能為?最大可能為?Ans:方程式為: x = 3p+1 = 5q+2 = 7r+3看前面兩項: m=正整數3p=5q+1 => p=2, q=1=> p=2+5m, q=1+3m;
看前後兩項: n=正整數7r=3p-2=3(2+5m)-2=4+15m => m=3, r=7=> r=7+15nx=7r+3=7(7+15n)+3=105n+52n(max)=(999-52)/105=>9x(max)=105*9+52=997......ansn(min)=(100-52)/105=>1x(min)=105*1+52=157......ans
2.雞蛋有900多個，每5個一數餘3個，每7個一數餘5個，每9個一數餘7個
問雞蛋全部有幾個?Ans:w=5x+3=5x+5-2=5(x+1)-2=5p-2=> w+2=5p=7q=9r(同樣的方法)=[5,7,9]*k=315*k=> w=315*k-2=3*315-2=943.....ans

3.用某正整數去除193餘4，同時用它去除1076不足4，求此正整數的最大值與最小值。193=p*x+4 => 189=px1076=qx-4 => 1080=qxx=(189,1080)=9(21,120)=27(7,40)x(max)=27......ansx(min)=9.......ans

4.28 30 66 75 143 169 595 663八個數分成兩組，每組四個數，使各組中四個數的乘積相等。Ans:30=2*3*5, 28=2*2*7,66=2*3*11, 75=3*5*5,169=13*13, 143=11*13,595=5*7*17, 663=3*13*17左邊=右邊=(2*3*5*13)^2*(7*11*17)=> 30*66*169*595=28*75*143*663
5.任取8個自然數，其中必有兩數的差為7的倍數。Ans:全部取奇數,則奇數-奇數=偶數,所以此命題錯誤


2014-09-04 08:32:06 補充：
或全部取偶數,則偶數-偶數=偶數=\=7,所以此命題錯誤

2014-09-04 15:25:45 補充：
雖然: 奇數-奇數=偶數,偶數-偶數=偶數

但是可以為: 奇數-奇數=偶數*7,偶數-偶數=偶數*7

所以修改如下:


現在有7個數為:

x0=7k0, x1=7k1+1, x2=7k2+2, x3=7k3+3, x4=7k4+4, x5=7k5+5, x6=7k6+6


第8數為: x=7k+Rj(餘數); Rj=0~6

則相減為:

Δx=x-xj, (j=0~7)

=(7k+Rj)-(7kj+Rj)

=7(k-kj)

=7的倍數

2014-09-04 15:31:31 補充：
如果7個數裡面,餘數有重複者,譬如:

x0=7k0, x1=7k1+1, x2=7k2+2, x3=7k3+3, x4=7k4+4,

x5=7k5+5, x6=7k6+5

則兩者相減為7倍數:

Δx=x6-x5

=7(k6-k5)

=7的倍數


所以此命題成立

這家不錯 lｖ3３3。ｃC買幾次啦真的一樣
傭刻乵凋凞

1.以下非正式解法
100/3餘1
100/5餘0
3/5餘3
4*3/5餘2
100+4*3=112
112/7餘0
(3*5)/7餘1
3*(3*5)/7餘3
112+3*(3*5)=157(此為最小)
1000/3餘1
1000/5餘0
-3/5餘2
1000-3=997
997/7餘3
故最小157，最大997

2014-09-04 09:44:34 補充：
4.
169=13*13====>A組
143=11*13====>B組13對13
663=17*13*3=====>B組13對13
66=11*3*2======>A組11對11
595=17*7*5======>A組17對17
28=7*2*2======>B組7對7
30=5*3*2======>A組2對2
75=========>B組最後一個沒得選

2014-09-04 09:48:50 補充：
是非題:圈
將自然數以7進位表示
則其個位數為0,1,2,3,4,5,6
共7個數
若放置第8數
個位數數字勢必重複
故有兩數差為7的倍數

2014-09-04 10:52:46 補充：
在7進位中
當兩數差為7之倍數時
兩數相減個位數數字=0
(附上此說明會較清楚些)

是非題, 用鴿籠原理。

令八個自然數 a_i (i = 1, 2, ..., 8) 除 7 的餘數是 k_i, 即 a_i = 7 Q_i + k_i

留意 k_i 的取值範圍是 {0, 1, 2, ..., 6} 只有 7 個可能。

8 個 a_i 中，必至少有兩個 k_i 是相同的，如 k_m = k_n。

那麼 a_m - a_n = 7(Q_m - Q_n) 是 7 的倍數。