nilpotent matrix:A

緯同學，由於系統問題，所以你的帖子不能在頁面顯示，以致那麼遲才能夠回答你。

題目：
0: zero matrix
I: identity matrix
A is a n × n matrix.
A^k = 0 for some positive interger k.

Show that A - I is invertible.

原解答：
If k = 1, then A = 0 and A - I = -I which is invertible.

If k > 1, then A^k - I = -I = (A - I)[A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I]

(a) If n is an even number, then
1 = |A - I| ⇒ |A - I| ≠ 0 ⇒ A - I is invertible.

(b) If n is an odd number, then
-1 = |A - I| ⇒ |A - I| ≠ 0 ⇒ A - I is invertible.

解釋：
我覺得解答的做法有可能是打漏了一些內容，若不是的話，那他所表達的方法也太複雜了。
其實你可以這樣想：

-I = (A - I)[A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I]
det(-I) = det(A - I)det[A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I]
| -I | = |A - I| × |A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I|
(-1)^n = |A - I| × |A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I|

那若 n is even，左方是 1；若 n is odd，左方是 -1。
即無論如何左方都不是 0。
那麼即是 無論如何右方兩數皆不是 0。
那已經可以證明 |A - I| ≠ 0 ⇒ A - I is invertible.

所以這樣說更直接。

當然，反而若你要去想為何
|A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I| 必定是 1 這個問題則更複雜。

因此，雖然解答寫的是正確的，但如像這樣證明的話則太複雜了。
其實也不需要，你見到原解答的重點都只是想說 |A - I| 不是 0，那用我以上說的方法就更直接了，不必引入其他理論。

註：
但 |A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I| = 1 其實是正確的。
關於 nilpotent A，有一個常見的特性是：
det(A + I) = 1
那麼 (-1)^n det(A + I) = (-1)^n
det(-A - I) = (-1)^n
det(B - I) = (-1)^n 其中 B = -A 也是 nilpotent 且若 A^m = 0 則 B^m = 0
即
det(A - I) = (-1)^n
再看以上的： (-1)^n = |A - I| × |A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I|
可知 |A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I| = 1

但這其實是反推。
我個人覺得有可能原本解答是打錯了。
雖然數學上是正確，但從邏輯推論本題證明的步驟看，
似乎不必用到 |A^(k-1) + A^(k-2) + ... + I| = 1。

!!!!!!!!!!

2014-09-17 22:18:58 補充：
我有去查det(A + I) = 1證明了

課本沒寫到...det(A + I) = 1

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