F.4 變分應用題

1.
以 $m 表月薪，以 $b表獎金，以 $t 表該月工作時間。

y = b + kt
其中 k 為常數

當 t <200： b = 0
當 t ≥ 200： b > 0

當 t = 210，m =15500：
15500 = b + k(210)
b + 210k = 15500 ...... [1]

當 t = 190，m =9500 及 b = 0：
9500 = (0) + k(190)
190k = 9500
k = 50

代入 [1] 中：
b + 210(50) = 15500
b = 5000

所以 y = 5000 + 50t

當 t = 220：
y = 5000 + 50(220)
y = 16000

家恆月薪 = $16000


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2.
要建立 y、x 和 z 的關係式，必需兩組 y、x 和 z 的數據。
但題目只給了一組 y、x 和 z 的數據。
因題目錯漏，此題不能解。


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3.
(a)
以 A cm² 表三角形的面積。

A = (1/2)(40 + 2x)(100 - x)
A = (20 + x)(100 - x)
A = 2000 + 80x - x²
A = -(x² - 80x) + 2000
A = -(x² - 80x + 40²) +40² + 2000
A = -(x - 40)² + 3600

無論 x 為任何實數， -(x - 40)² ≤0
故此A = -(x - 40)² + 3600 ≤ 3600

當 x = 40 時：
最大面積 = 3600cm²
對應的高 = [40 + 2(40)] cm = 120 cm
對應的底 = (100 - 40) cm = 60 cm


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4.
(a)
5x² + bx + c = 0 的兩根為：
x = [-b ± √(b² - 20c)]/10
x = (-b/10) + [√(b² - 20c)/10] 或 x = (-b/10) - [√(b² -20c)/10]

3 + 4i 為 5x² + bx + c = 0 的一根。
另一根 = 3 -4i

(b)
比對 x = (-b/10) ± [√(b² - 20c)/10] 及 x= 3 ± 4i，可得：
-b/10 = 3 ...... [1]
√(b² - 20c)/10 = 4i ...... [2]

由 [1]：
b = -30

代入 [2] 中：
√(30² - 20c)/10 = 4i
√(900 - 2c) = 40(√-1)
900 - 20c = -1600
20c = 2500
c = 125

所以 b = -30, c = 125

2014-09-02 02:33:03 補充：
知足常樂師兄，謝謝！

2014-09-02 02:51:36 補充：
2.
(a)
y = kz²/√x
其中 k 為常數

當x = 25 及 z = 3 時，y = 36：
36 = k(3)²/√25
k = 20
所以 y = 20z²/√x

當 y = 320 及 z = 4 時：
320 = 20(4)²/√x
√x = 1
x = 1

2014-09-02 02:51:45 補充：
(b)
y = 20z²/√x

當 x 增加 44% 及 z 減少 10%：
y' = 20[1 - 10%)x]²/√[(1 + 0.44)x]
y' = [(0.9)²/√1.44] * (20z²/√x)
y' = 0.675y

y 的百分變化
= [(0.675y - y)/y] * 100%
= -37.5%
（減少 37.5%）

師兄話 y 減少了 32.5%，為何小師弟還是做了 y 減少了 37.5% 呢？

^^　小龍女芷樺～

今次呢個唔係一個好名，你知道點解嗎？

(◕‿◕✿)

2014-09-01 16:13:45 補充：
我指而家 V 字頭果個 =P

2014-09-01 16:14:22 補充：
舊年搞到我雞毛鴨血果個人個名就係。。。。。。

2014-09-01 22:45:31 補充：
回小龍女～
不打緊，只是分享一下～
人總有同名，我只是順帶說說，不必介懷～
(◕‿◕✿)

你第一題的想法正確。
至於第三題 (a)，似乎你多除了一次２，及欠了一個負。
面積 = 底 × 高 ÷ 2
= (40 + 2x) (100 - x) / 2
= (20 + x) (100 - x)

土扁師兄全對了！

2014-09-01 22:52:37 補充：
土扁：

2. 已知 y 隨 z² 正變及隨 x 的平方根反變。

這個是 joint variation，即 y = kz²/√x，其中 k 為非零常數。

36 = k(3²)/√25
k = 20

y = 20z²/√x

請你加入補充，謝謝你。

2014-09-01 22:55:59 補充：
(b)
y = 20z²/√x
y' = 20(0.9z)²/√(1.44x) = 20 (0.81) z² / (1.2 √x) = 0.675(20z²/√x) = 0.675 y
y 減少了 32.5%。

4a.
因3+4i是虛數且b及c為實數
則△=b^2-4ac<0
所以另一個根為3-4i

b.
兩根之和=-b/a
雨根之積=c/a

-b/5=3-4i+3+4i
-b=6*5
b=-30

c/5=(3+4i)(3-4i)
c=5*25
c=125