求拋物線長度~幫做鐵工的老爸問~急~急~20點

c=(0,0), a,b=(-+2500,0), d=(0,700)Set y(x)=700-kx^2y(2500)=700-k*2500^2 => k=700/2500^2=7/62500=> y(x)=700-7*(x/250)^2y'=-7x/125L=2∫(x=0~2500)√(1+y'^2)dx=2∫√(1+49x^2/125^2)dx=(2/125)∫√(125^2+49x^2)dx
Set x=125tanA/7 => dx=125sec²A*dA/7
L=2∫√(1+tan²A)*sec²A*dA=2∫sec³A*dA=2∫secA*d(tanA)=2secA*tanA-2∫tan²A*secA*dA=2secA*tanA-2∫(sec²A-1)secA*dA=2secA*tanA-2∫sec³A*dA+2∫secA*dA=2secA*tanA - L + 2∫secA*dA=> L=secA*tanA + ∫secA*dAH=∫secA*dA=∫cosAdA/cos²A=∫d(sinA)/(1-sin²A)=∫dt/(1-t^2)......t=sinA=0.5∫[1/(1+t)+1/(1-t)]dt=0.5*ln[(1+t)/(1-t)]=0.5*ln{(1+sinA)/(1-sinA)}=ln[(1+sinA)/cosA]=ln(secA+tanA)=> L=secA*tanA + ln(secA+tanA)=7x√(125^2+49x^2)/125^2 + ln{[7x + √(125^2+49x^2)]/125}=7*2500√(125^2+49*2500^2)/125^2 + ln{[7*2500+√(125^2+49*2500^2)]/125}
=19606.1348......ans

2014-08-31 05:39:55 補充：
漏打125/7修改如下:

L=125*19060.348/7=350109.55

2014-08-31 07:19:44 補充：
微分漏打平方,修改為 y'=-14x/250^2

其餘修改如下:

L=(62500/14)*{secA*tanA + ln(secA+tanA)}

secA=√(31250^2+49x^2)/31250=1.146

tanA=7x/31250=0.56

=> L=62500*[1.146*0.56+ln(1.146+0.56)]/14

=5250.24.......ans

引入直角坐標系。

令 A = (0,0), C = (2500, 0), B = (5000, 0), D = (2500, 700)

拋物線方程是：
y = -7/62500 (x - 2500)² + 700

再用微積分計算即成。

2014-08-31 02:25:44 補充：
我暫時沒有時間，希望其他大大可以先幫幫忙。

加油唷！

Einsteine 大，如果方便的話，可以請作答，這題也算不錯，發問者也很有心。

(｡◕‿◕｡)

地是不是平坦無傾斜的?

2014-08-31 02:06:22 補充：
100root( 821 ) + ( 31250／7 )ln( 14／25 + root( 821／265 ) )

大概是 5250.238658