Maths一元二次方程

1.
(a)
α 及 β 為二次方程 5x² + 3x - 2 = 0 的根。
兩根之和： α + β = -3/5
兩根之積： αβ = -2/5

α - β
= √[(α - β)²]
= √[(α + β)² - 4αβ]
= √[(-3/5)² - 4(-2/5)]
= 7/5

α³ - β³
= (α - β)(α² + αβ + β²)
= (α - β) [(α + β)² - αβ]
= (7/5) [(-3/5)² - (-2/5)]
= 133/125

(b)
(α/β²) - (β/α²)
= (α³/α²β²) - (β³/α²β²)
= (α³ - β³) /α²β²
= (133/125) / (-2/5)²
= 133/20


====
2.
(a)
α 及 β 為二次方程 x² - 3x + 1 = 0 的根。
兩根之和： α + β = 3
兩根之積： αβ = 1

αβ × 3αβ
= 3(αβ)²
= 3(1)²
= 3

α² × β²
= (αβ)²
= 1


====
3.
二次方程 ax² + 12x + c = 0 有二重實根，判別式 = 0
12² - 4ac = 0
ac = 36

三組數值：
a = 1, b = 35
或 a = 4, b = 9
或 a = 6, b = 6


====
4.
x = 2 - i 或 x = 2 + i
x - (2 - i) = 0 或 x - (2 + i) = 0
[x - (2 - i)] [x - (2 + i)] = 0
x² - (2 - i + 2 + i)x + (2 - i)(2 + i) = 0
x² - 4x + [4 - (-1)] = 0
x² - 4x + 5 = 0


====
5.
設長方形的闊為 x cm，長為 (x+ 5) cm。

x(x + 5) = 84
x² + 5x - 84 = 0
(x - 7)(x + 12) = 0
x = 7 或 x= -12 (不合)
x + 5 = 12

長方形的周界
= 2(7 + 12) cm
= 38 cm

二次方程
x² - ( 兩根的和 ) x + ( 兩根的積 ) = 0

4.
根為2-i及2+i
x² - (2-i + 2+i)x + (2-i)(2+i) = 0
x² - 4x + [4 - (-1)] = 0
x² - 4x + 5 = 0