數學排列組合

1.設(0.99)^8小數點第1.2.3.4位分別為A B C D 則
C+D=?
Sol
f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x+f”(x)(△x)^2/2!+f’’’(x)(△x)^3/3!+…
f(x)=x^8
f’(x)=8x^7
f’’(x)=56x^6
f’’’(x)=336x^5
f(0.99)=f(1－0.01)
～1+8*(－0.01)+56*(－0.01)^2/2+336*(－0.01)^3/6
～1－0.08+0.0028－0.000056
～0.9222744
C+D=2+7=9

2.多項式(x^2+1)+(x^2+1)^2+..............+(x^2+1)^12展開式中x^4之係數=?
Sol
A=(x^2+1)+(x^2+1)^2+..............+(x^2+1)^12
=[(x^2+1)^13-(x^2+1)/(x^2+1－1)
=[(x^2+1)^13-(x^2+1)/x^2
(x^2+1)^13展開式中x^6之係數=C(13，3)=13*12*11/6=286
展開式中x^4之係數=286
or
Set y=x^2
展開式中x^4之係數
=(y+1)+(y+1)^2+..............+(y+1)^12展開式中y^2之係數
=Σ(k=2 to 12)_C(k，2)
=Σ(k=2 to 12)_[k*(k－1)/2]
=Σ(k=1 to 12)_[k*(k－1)/2]
=(1/2)Σ(k=1to 12)_k^2－(1/2)Σ(k=1 to 12)_1
=12*13*25/12－12*13/4
=325－39
=286

3.(√3+∜5)^100之展方式中是有理數的項共有( )項
Sol
.(√3)^p*(∜5)^(100－p)
=3^(p/2)*5^(25－p/4)
p=4n
0<=4n<=100
0<=n<=25
25－0+1=26

4.設(1.02)^8乘開小數點後第1.2.3.4位分別為a b c d 則 a+b+c+d=?
a.b.c.d 分別為多少?
Sol
f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x+f”(x)(△x)^2/2!+f’’’(x)(△x)^3/3!+…
f(x)=x^8
f’(x)=8x^7
f’’(x)=56x^6
f’’’(x)=336x^5
f(1.02)=f(1+0.02)
～1+8*(0.02)+56*(0.02)^2/2+336*(0.02)^3/6
～1+0.16+0.0112+0.000448
～1.171648
A=1，B=7，C=1，D=6
A+B+C+D=1+7+1+6=15

5.有五種不同的酒，任意倒入3個杯子，每個杯都要倒酒，若酒杯相同，
則共有( )種倒法
Sol
H(5，3)=C(5+3－1，3)=C(7，3)=7*6*6/6=35
or
(1)倒入1種酒
C(5，1)=5
(2)倒入2種酒C(5，2)*C(2，1)=20
(3)倒入3種酒
C(5，3)=10
5+20+10=35

APPLE池，用 Hockey-stick identity (Hockey stick 是 曲棍球)

C(2,2) + C(3,2) + ... + C(12,2) = C(13,3) = 13×12×11/6 = 286

1.(1-0.01)^8=C(8,0) - C(8,1)(0.01) + C(8,2)(0.01)^2 – C(8,3)(0.01)^3 + C(8,4)(0.01)^4 - … + …=1 – 0.08 + 0.0028 – 0.000056 + 0.00000070 - … + …=0.9227447… C + D = 2 + 7 = 9 2.(x^2+1)+(x^2+1)^2+ … +(x^2+1)^12=(x^2+1)((x^2+1)^12 – 1)/((x^2+1) – 1)= ((x^2+1)^13 –(x^2+1))/(x^2) (x^2+1)^13展開式中
x^6之係數= C(13,6) = 1716 故 原式展開式中x^4之係數 = 1716 3.(√3+∜5)^100=Σ﹝k=0,100﹞C(100,k)(3^(k/2))(5^((100-k)/4)) 有理數的項中k/2∈Z，(100-k)/4∈ZK = 100 – 4m, m∈Z0≦m≦25 有理數的項共有26項 4.(1 + 0.02)^8= C(8,0) + C(8,1)(0.02) + C(8,2)(0.02)^2 + C(8,3)(0.02)^3 + C(8,4)(0.02)^4 + …=1 + 0.16 + 0.0112 + 0.000448 + 0.0000112 + …=1.1716592 + … a+b+c+d = 1 +7 + 1 + 6 = 15 5.(1) 若酒杯相同 倒法 H(5,3) = C(7,3) = 35種(2) 若酒杯不同 倒法 5^3 = 125種

1. (0.99)^8 = (1-0.01)^8
=C(8,0)[(1^8)(0.01)^0]-C(8,1)[(1^7)(0.01)^1]+C(8,2)[(1^6)(0.01)^2].....-C(8,7)[(1^1)(0.01)^7]+C(8,8)[(1^0)(0.01)^8]
=1-8(0.01)+28(0.01)^2-56(0.01)^3.....
題目求CD 所以只需看前3個即可知 C=2 , D=7 真正用到的是第二個 28(0.01)^2 =0.0028 後面還有減所以變成 0.0027

2. 只求X^4之係數
(X^2+1)^2=C(2,2)
(X^2+1)^3=C(3,2)
(X^2+1)^4=C(4,2)
(X^2+1)^5=C(5,2)
(X^2+1)^6=C(6,2)
(X^2+1)^7=C(7,2)
(X^2+1)^8=C(8,2)
(X^2+1)^9=C(9,2)
(X^2+1)^10=C(10,2)
(X^2+1)^11=C(11,2)
(X^2+1)^12=C(12,2)
=1+3+6+10+15+21+28+36+45+55+66=286

3. (√3+∜5)^100 =C(100,0)[(√3)^100(∜5)^0]+C(100,0)[(√3)^99(∜5)^1].......+C(100,0)[(√3)^1(∜5)^99]+C(100,0)[(√3)^0(∜5)^100]
由此可知 當√3的次方數為偶數或0並且∜5的次方數為4的倍數或0時為有理數
A:26

4. (1.02)^8 = (1+0.02)^8
=C(8,0)[(1^8)(0.02)^0]+C(8,1)[(1^7)(0.02)^1]+.....+C(8,7)[(1^1)(0.02)^7]+C(8,8)[(1^0)(0.02)^8]
只需看 abcd=只需看C(8,0)~C(8,3)
C(8,0)[(1^8)(0.02)^0]=1
C(8,1)[(1^7)(0.02)^1]=0.16
C(8,2)[(1^6)(0.02)^2]=1.12
C(8,3)[(1^5)(0.02)^3]=0.000448
a=2 ,b=8 ,c=0 ,d=4

5. 5種酒 3個相同杯子 所以有(1,1,3) (1,2,2)兩種可能
(1,1,3)= C(5,1)C(4,1)C(3,3)/2! =10
(1,2,2)= C(5,1)C(4,2)C(2,2)/2! =15

共有25種可能