三角函數:求k的可能範圍

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圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/948028334.png


2014-08-29 02:47:22 補充：
首先謝謝少年時老師提供另解。

2014-08-29 02:52:59 補充：
問：
想問下點解不取k≧1/3而取k＞1?? 不是計到k≧1/3嗎?

答：
因為如果分 case 處理的話，你的 case assumption (k > 1) 也需要符合。
在 k > 1 的假設下得出 k ≧ 1/3，即是要求
k > 1 「及」 k ≧ 1/3
一個數字要大於１，也要大於或等於 1/3。
所以（本部）結論是 k > 1。
〔因此，你明白是 and 還是 or 是很重要的！〕

2014-08-30 15:31:26 補充：
練習：

(1) x > 1 及 x > 2
(2) x > 1 或 x > 2
(3) x > 1 及 x < 2
(4) x > 1 或 x < 2
(5) x < 1 及 x > 2
(6) x < 1 或 x > 2
(7) x < 1 及 x < 2
(8) x < 1 或 x < 2

2014-08-30 15:33:35 補充：
答案：

(1) x > 1 及 x > 2 ⇒ x > 2
(2) x > 1 或 x > 2 ⇒ x > 1
(3) x > 1 及 x < 2 ⇒ 1 < x < 2
(4) x > 1 或 x < 2 ⇒ 任何實數
(5) x < 1 及 x > 2 ⇒ 無解
(6) x < 1 或 x > 2 ⇒ x < 1 或 x > 2 [即無法再化簡，原題已是最簡]
(7) x < 1 及 x < 2 ⇒ x < 1
(8) x < 1 或 x < 2 ⇒ x < 2

2014-08-30 15:34:15 補充：
對於兩句條件句，只有這 2³ = 8 個情況，因為只有 3 個關卡。

( > ) 或 ( < ) ， (及) 或 (或) ， ( > ) 或 ( < )。

2014-08-30 15:34:29 補充：
問：
Case 2
那麼為什麼這case不取k＞1?有點不明白,還望知識長請教!

答：
現在的情況是：
k ≧ 3 「及」 k > 1
你想想，一個數要大於１，也要大於或等於 3，那就是k ≧ 3。
你可以試，２不符合，但３，４，５則符合。
〔你也可以在數線上畫陰影看「重疊」的地方。〕

我在意見欄設幾題讓你想想，看看你是否明白？

假設 x＝θ－20，即
k tan x＝tan(x＋30)
==> k tan x＝(tan x＋tan 30)/(1－tan x tan 30)
==> k tan x＝(√3 tan x＋1)/(√3－tan x)
==> √3 k tan x－k tan²x＝√3 tan x＋1
==> k tan²x－√3 (k－1) tan x＋1＝0
因此式有解，所以
Δ ≧ 0
==> [√3 (k－1)]²－4k ≧ 0
==> 3k²－10k＋3 ≧ 0
==> (3k－1)(k－3) ≧ 0
==> k ≦ 1/3 或 k ≧ 3 ⋯⋯⋯⋯ (i)

2014-08-28 23:26:43 補充：
及

因為 -1 ≦ sin (2x＋30) ≦ 1，所以 -1 ≦ (k＋1)/[2(k－1)] ≦ 1
即 -1 ≦ (k＋1)/[2(k－1)] 及 (k＋1)/[2(k－1)] ≦ 1
==> (3k－1)/(k－1) ≧ 0 及 (k－3)/(k－1) ≧ 0
==> (k ≦ 1/3 或 k＞1) 及 (k＜1 或 k ≧ 3)
==> k ≦ 1/3 或 k ≧ 3 ⋯⋯⋯⋯ (ii)

綜合 (i), (ii), 得 k ≦ 1/3 或 k ≧ 3。