某次有8 支球隊參加足球比賽，任兩隊均分別在主場和客場各比一場，勝者一場得3 分，平手則兩隊各得1 分，負者得0 分。
(1) 試問這次比賽共進行了多少場賽事？
(2) 這次比賽的各種可能的勝負結果中，8 隊積分總和最大是多少？最小是多少？
(3) 若比賽結束後按積分的高低排出名次，在積分榜上名次相鄰的兩支球隊，他們的積分差距最多可達幾分？
(4) 若改成有n支球隊參加足球比賽，則類似上題(3)的積分榜上，名次相鄰的兩支球隊的積分差距最多可達幾分？
計算證明題
2014-08-27 12:46 am
回答 (3)
2014-08-27 2:13 am
✔ 最佳答案
(1) 2C(8,2) = 56 場(2) 3 x 56 = 168 分(3) 最高 2 x 7 x 3 = 42分其他七隊全部平手, 2 x C(7,2) x 2 /7 = 12分積分差距最多可達42 – 12 = 30分(4) 最高 2 x (n-1) x 3 = 6(n-1) 分其他(n-1)隊全部平手, 2 x C(n-1,2) x 2 /(n-1) = 2(n-2) 分積分差距最多可達6(n-1) –2(n-2) = 4n - 2分 
2014-08-27 2:44 am
以下不用組合計算。
(1)
8 隊中每隊主場均會與另外 7 隊作賽。
共進行賽事數目
= 8 × 7 場
= 56 場
(2)
積分總和最大
= (3 + 0) × 56 分
= 168 分
積分總和最小
= (1 + 1) × 56 分
= 108 分
2014-08-26 18:45:09 補充：
(3)
每隊主、客場共有 7 × 2 = 14 場比賽。
積分差距最大時，第一名球隊 14 場全勝，而其餘 7 支球隊之間的比賽全和（第 2 名至第 8 名同分）。
第一名球隊得分
= 3 × 14 分
= 42 分
第二名球隊得分
= 0 × 2 + 1 × 12 分
= 12 分
積分差距最大
= 42 - 12 分
= 30 分
2014-08-26 18:45:36 補充：
(4)
每隊主、客場共有 2(n - 1) = 2n - 2場比賽。
積分差距最大時，第一名球隊 2n - 2 場全勝，而其餘 n - 1 支球隊間的比賽全和（第 2 名至第 n 名同分）。
第一名球隊得分
= 3 × (2n - 2) 分
= 6n - 6 分
第二名球隊得分
= 0 × 2 + 1 × (2n - 2 - 2) 分
= 2n - 4 分
積分差距最大
= (6n - 6) - (2n - 4) 分
= 6n - 6 - 2n + 4 分
= 4n - 2 分
(1)
8 隊中每隊主場均會與另外 7 隊作賽。
共進行賽事數目
= 8 × 7 場
= 56 場
(2)
積分總和最大
= (3 + 0) × 56 分
= 168 分
積分總和最小
= (1 + 1) × 56 分
= 108 分
2014-08-26 18:45:09 補充：
(3)
每隊主、客場共有 7 × 2 = 14 場比賽。
積分差距最大時，第一名球隊 14 場全勝，而其餘 7 支球隊之間的比賽全和（第 2 名至第 8 名同分）。
第一名球隊得分
= 3 × 14 分
= 42 分
第二名球隊得分
= 0 × 2 + 1 × 12 分
= 12 分
積分差距最大
= 42 - 12 分
= 30 分
2014-08-26 18:45:36 補充：
(4)
每隊主、客場共有 2(n - 1) = 2n - 2場比賽。
積分差距最大時，第一名球隊 2n - 2 場全勝，而其餘 n - 1 支球隊間的比賽全和（第 2 名至第 n 名同分）。
第一名球隊得分
= 3 × (2n - 2) 分
= 6n - 6 分
第二名球隊得分
= 0 × 2 + 1 × (2n - 2 - 2) 分
= 2n - 4 分
積分差距最大
= (6n - 6) - (2n - 4) 分
= 6n - 6 - 2n + 4 分
= 4n - 2 分
2014-08-27 2:39 am
C 在第 2 題沒有計算總和最小積分，應是 108 分。
收錄日期: 2021-04-15 16:15:47
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140826000016KK06938