幾題高中數學問題 !

1.
(1.01)²⁰
= (1 + 0.01)²⁰
= 1 + 20C1(0.01) + 20C2(0.01)² + 20C3­(0.01)³ + 20C4­(0.01)⁴ + ......
= 1 + 20(0.01) + 190(0.0001) + 1140(0.000001) + 4845(0.00000001) + ......
≈ 1 + 0.20 + 0.0190 + 0.001140 + 0.00004845
= 1.220 (至小數後三位)


====
2.
21¹⁸
= (20 + 1)¹⁸
= [20¹⁸ + 18C1(20)¹⁷ + ...... + 18C14(20)⁴] + [18C15(20)³ + 18C16(20)² + 18C17(20) + 1]
= (20)⁴ × [20¹⁴ + 18C1(20)¹³ + ...... + 18C14] + (816 ×8000 + 153 × 400 + 18 × 20 + 1)
= 10000 × 16 × [20¹⁴ + 18C1(20)¹³ + ...... + 18C14] + 6589561

21¹⁸ 除以10000 之餘數
= 6589561 除以 10000 之餘數
= 9561


====
3.
(x² - 2x + 2)¹⁰
= [(x² - 2x + 1) + 1]¹⁰
= [(x - 1)² + 1]¹⁰
= [(x - 1)²⁰ + ­10C1(x - 1)¹⁸ + ...... + 10C8(x - 1)⁴] + 10C9(x- 1)² + 1
= (x - 1)³ [(x- 1)¹⁷ + ­10C1(x - 1)¹⁵ + ...... + 10C8(x - 1)] + 9(x² - 2x+ 1) + 1
= (x - 1)³ [(x- 1)¹⁷ + ­10C1(x - 1)¹⁵ + ...... + 10C8(x - 1)] + 9x² - 18x+ 10

(x - 1)³ 除 (x² - 2x + 2)¹⁰ 之餘式 = 9x² - 18x + 10


====
4.
(1 + 1)¹³ = (13C0 + 13C1+ ...... + 13C6) + (13C7 + 13C8+ ...... + 13C13)
(1 + 1)¹³ = (13C0 + 13C1+ ...... + 13C6) + (13C13 + ......+ 13C12 + 13C13)

因為 nCr = nCn-r
所以 (13C0 + 13C1+ ...... + 13C6) = (13C13 + ......+ 13C12 + 13C13)

故此 (1 + 1)¹³ = 2(13C0 + 13C1+ ...... + 13C6)

13C0 + 13C1 + ...... + 13C6
= 2¹³/2
= 4096


====
5.
8C0 - (1/2)8C1 + (1/4)8C2- (1/8)8C3 + ....... - (1/128)8C7 +(1/256)8C8
= 8C0(1)⁸ + 8C1(1)⁷(-1/2) + 8C2(1)⁶(-1/2)² + ....... + 8C7(1)(-1/2)⁷ + 8C8(-1/2)⁸
= [1 - (1/2)]⁸
= 1/256

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3.
(x² - 2x + 2)¹⁰ ÷ (x - 1)³
= (x² - 2x + 1 + 1)¹⁰ ÷ (x - 1)³
= [(x - 1)² + 1]¹⁰ ÷ (x - 1)³
= { (x - 1)³Q(x) + 10(x - 1)² + 1 } ÷ (x - 1)³

The remainder is the same as when the dividend is
10(x - 1)² + 1
= 10x² - 20x + 11

This is of degree less than 3, so it is already the remainder.

2014-08-24 15:37:28 補充：
4.
A = C(13,0)+C(13,1)+C(13,2) + ..... + C(13,6)
　= C(13,13)+C(13,12)+C(13,11) + ..... + C(13,7) = B

A + B = 2¹³

A + A = 2¹³

2A = 2¹³

A = 2¹² = 4096

2014-08-24 15:43:09 補充：
5.
(1 + x)⁸ = ∑[r = 0 ~ 8] C(8,r) x^r

Put x = -1/2,

(1/2)⁸ = ∑[r = 0 ~ 8] C(8,r) (-1/2)^r

C(8,0) - 1/2 C(8,1) + 1/4 C(8,2) - 1/8 C(8,3) + .... -1/128 C(8,7) + 1/256 C(8,8)
= 1/256

2014-08-24 15:48:02 補充：
2.
21¹⁸
= (1 + 20)¹⁸
= 1 + (18)(20) + C(18,2)(20)² + C(18,3)(20)³ + 10000(M)
　　因為 20⁴ = 160000 = 10000(16)
= 1 + 360 + 61200 + 6528000 + 10000(M)
= 6589561 + 10000(M)
= 6590000 + 9561 + 10000(M)
= 9561 + 10000(M + 659)

The required remainder is 9561.

2014-08-24 15:53:43 補充：
1.
1.01²⁰
= (1 + 0.01)²⁰
= 1 + 20(0.01) + C(20,2)(0.01)² + C(20,3)(0.01)³ + ...
　　因為 C(20,4)(0.01)⁴ = 0.00004845 < 0.0001
　　而餘下的項目只會更少，而餘下的總項數也不足 20。
= 1 + 0.2 + 0.019 + 0.00114 + (更小的數)
= 1.22014 + (更小的數)
≈ 1.220 (準確至小數後三個位)

2014-08-24 19:39:34 補充：
【 伊娃 】 你好～

不打緊，我一直也很賞 土扁 的作答。

你看到我的回答我已經很高興。

╭∧---∧╮
│ .✪‿✪ │
╰/) ⋈ (\\╯

2014-08-24 19:40:12 補充：
*欣賞～

土扁 大大 一直也對我好好的～

大家努力！

Cheers~