數學問題:請證明

設某數 N 的個位為 ao，十位為 a1，百位為 a2，......，最大位為 an。


N

= ao + a1(10) + a2(100) + a3(1000)+ ...... + an(10)ⁿ

= ao + a1(9 + 1) + a2(99 + 1) + a3(999+ 1) + ...... + an[(10ⁿ - 1) + 1]

= [a1(9) + a2(99) + a3(999) + ...... + an(10ⁿ - 1)] + (ao + a1 + a2+ a3 + ...... + an)

= [a1(9) + a2(99) + a3(999) + ...... + an(10- 1)(10ⁿ⁻¹ + 10ⁿ⁻² +...... + 10 + 1)] + (ao + a1 + a2 + a3+ ...... + an)

= [a1(9) + a2(99) + a3(999) + ...... + an(9)(10ⁿ⁻¹ + 10ⁿ⁻² +...... + 10 + 1)] + (ao + a1 + a2 + a3+ ...... + an)

= 9[a1 + a2(11) + a3(111) + ...... + an(10ⁿ⁻¹ + 10ⁿ⁻² +...... + 10 + 1)] + (ao + a1 + a2 + a3+ ...... + an)


N ÷ 9 = [a1 + a2(11) + a3(111) + ...... + an(10ⁿ⁻¹ + 10ⁿ⁻² +...... + 10 + 1)] + (ao + a1 + a2 + a3+ ...... + an) ÷ 9

N ÷ 9 = 整數 + (ao + a1 + a2+ a3 + ...... + an) ÷ 9

N除以 9 的餘數等於 (ao + a1 + a2 + a3 +...... + an) 除以 9 的餘數

某數除以9的餘數，等於這數的數字和和除以9的餘數。

令此數 a(n) *10^n + a(n-1) *10^(n-1)+....+a1 * 10 + a0
a是 0~~9的整數

a(n) *10^n + a(n-1) *10^(n-1)+....+a1 * 10 + a0
=[a(n)+a(n-1)+....+a1+ a0]+9[~]
故得證

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侷唅叭像

因為數字都是用10進位表示，而10的正整數次方除以9都餘1。
化簡後就如上所示，餘數只和數字和有關。

用同餘表示可以更簡潔些，都需要對同餘有部份概念。