2014 DSE Maths Paper 2

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18. A. l sinθ

在 ΔABD 中 :
tanθ = DB / l
所以 DB = l tanθ

在 ΔABD 中 :
θ + 90° + ∠ADB = 180° (Δ內角和)
θ + ∠ADB = 90°
但已知 ∠BDC + ∠ADB = 90°
所以 ∠BDC = θ

在 ΔBCD 中 :
cos∠BDC = CD / DB
cosθ = CD / (l tanθ)
CD = l tanθ cosθ
CD = l (sinθ / cosθ) cosθ
CD = l sinθ

32. C. 只有 II 和 III

設 A 點的坐標為 (0, a)，其中 a 為正常數。

L 的方程式 : y = a

考慮 y = b^x :
當 x = 0 : y= 1
故此 y = b^x 與 y-軸相交於 (0, 1)
當 y = a : b^x = a 所以 x = log(a)/log(b)
故此B 點坐標 = (log(a)/log(b), a)

同理：
y = c^x 與 y-軸相交於 (0, 1)
C 點坐標 = (log(a)/log(c), a)

由於點 (0, a) 在點 (0, 1) 上方，所以 a > 1
log(a) > log(1)
log(a) > 0

由圖得知 :
(C 點的 x 坐標) > (B 點的 x 坐標)
[log(a)/log(c)] > [log(a)/log(b)]
[1/log(c)] > [1/log (b)] ...... (由於 log(a)> 0)
log(c) < log(b)
c < b ...... (I 錯誤)

由於 B 點 x 坐標均為正數。
log(a)/log(b) > 0
所以 log(b)/log(a)> 0
由於 log(a) > 0，所以 log(b) > 0
同理由 C 點的 x 坐標得 : log(c) > 0
故此 log(b) + log(c) > 0
log(bc) > log(1)
bc > 1 ...... (II 正確)

AB = log(a)/log(b) 及 AC = log(a)/log(c)
AB/AC = [log(a)/log(b)] / [log(a)/log(c)]
AB/AC = log(c)/log(b)
AB/AC = logb(c) ...... (III) 正確

40. D. 17/15

在 Δ BCD 中 :
CD² = CB² + BD² (畢氏定理)
CD² = (8² + 15²) m²
CD = 17 m

由 B 作 ΔBCD 的高 BH，H 在 CD 上。

ΔBCD 面積 :
(1/2) × BH × CD = (1/2) × CB × BD
(1/2) x BH x (17 m) = (1/2) x (8 m) x (15 m)
BH = 120/17 m

在ΔABH 中 :
tanθ = AB/BH
tanθ = 8 / (120/17)
tanθ = 8 × (17/120)
tanθ = 17/15

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