因式分解6小題

1.
x^4+4
=(x^4+4x²+4)-4x²
→將x^4+4配成平方公式(加上4x²，但是因為題目並不存在4x²，所以後面再減掉4x²)
=(x²+2)²-4x²
→配成平方公式(x²+2)²，前面和後面都是平方，所以可以用平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)做因式分解
=(x²+2+2x)(x²+2-2x)
→運用平方差公式，運算得解為(x²+2+2x)(x²+2-2x)
2.
x^4+x²y²+y^4
=(x^4+2x²y²+y^4)-x²y²
→一樣先將x^4+x²y²+y^4配成平方公式，再減掉多餘的x²y²
=(x²+y²)²-x²y²
→跟上面那題一樣，用平方差公式做因式分解
=(x²+y²+xy)(x²+y²-xy)
→運用平方差公式運算，得解為(x²+y²+xy)(x²+y²-xy)
3.
8x³-12x²y+6xy²-y³
=8x³-y³-12x²y+6xy²
→改變位置順序，以方便等一下要做的運算
=(2x-y)(4x²+2xy+y²)-6xy(2x-y)
→用x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)的公式為8x³-y³做因式分解，同時將後面的-12x²y+6xy²提出公因式
=(2x-y)(4x²+2xy+y²-6xy)
→前面和後面都有(2x-y)，所以把(2x-y)提出來，接著把後面的全部放在一個括號裡做運算
=(2x-y)(4x²-4xy+y²)
→後面的括號可以用和的平方公式變成(2x-y)²
=(2x-y)(2x-y)²
→這時，我們可以發現前後都是(2x-y)，一個是一次式，另一個是二次式，我們可以把他合併成三次式
=(2x-y)³
→將兩個式子合併，得解為(2x-y)³

2014-08-17 23:24:41 補充：
4.
x²-y²-x²+2yz
=x²-(y²-2yz+z²)
→將後面的-y²-x²+2yz重新排列成(y²-2yz+z²)，同時將它括號起來
=x²-(y-z)²
→這時我們可以發現(y²-2yz+z²)可以使用和的平方公式變成(y-z)²，前面和後面都是平方，可以用平方差公式做因式分解
=(x+y-z)(x-y+z)
→運用平方差公式運算，得解為(x+y-z)(x-y+z)

2014-08-18 10:07:40 補充：
5.
(x²-1)(y²-1)+4xy
=x²y²-x²-y²+1+4xy
→將 (x²-1)(y²-1)乘開，以方便後面要重組做因式分解的動作
=(x²y²+2xy+1)-(x²-2xy+y²)
→將x²y²、1和4xy之中的2xy組合成平方公式，同時將後面剩下的-x²、-y²以及4xy裡面另一個2xy組成另一個平方公式
=(xy+1)²-(x+y)².
→兩個式子都變成平方公式，可以用平方差公式做因式分解
=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)
→運用平方差公式做因式分解，得解為(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)

2014-08-18 10:08:09 補充：
6.
8x³+1
=(2x+1)(4x²-2x+1)
→運用立方和公式x³+y³=(x²-xy+y²)做因式分解，得解為(2x+1)(4x²-2x+1)
◎這邊用公式，所以我就直接跳步驟，如果不懂可以再問我喔~


#希望能幫助到你喔~#

>這家不錯 lｖ3３3。ｃC買幾次啦真的一樣
勖厀匧勎

我用x^4表示x的4次方，其餘類推。
第一題︰x^4+4在實數範圍內無法分解。在複數範圍可分解，用到平方差公式a^2-b^2=(a+b)*(a-b)，
x^4+4=(x^2)^2-(2i)^2=(x^2+2i)*(x^2-2i)，中i是虛數單位，i^2=-1。
第二題︰用到和的平方公式a^2+2ab+b^2＝(a+b) ^2及平方差公式a^2-b^2=(a+b) ^(a-b)
x^4+x^2y^2+y^4=x^4+2x^2y^x+y^4-x^2y^2(添項再減項目的是為了湊成完全平方式)=(x^2) ^2+2x^2y^^2+(y^2) ^2-(xy) ^2=(x^2+y^2) ^2-(xy) ^2=(x^2+y^2+xy)*(x^2+y^2-xy)（這裡用到了平方差公式）由於不知xy之正、負，故只能止於此。
第三題︰這一題用到和與差的立方公式，即a(a+b) ^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3及(a-b) ^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3這兩個公式，第二式是將第一式中的b以-b替換所得，故只要記住第一式即可。
8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3=(2x) ^3+3*(2x) ^2*(-y)+3*(2x)*(-y) ^2+(-y) ^3=(2x-y) ^3
第四題︰用到差的平方(a-b) ^2=a^2-2ab+b^2及平方差公式a^2-b^2=(a+b)*(a-b)
x^2-y^2-z^2+2yz=x^2-(y^2-2yz+z^2)=x^2-(y-z) ^2=[x+(y-z)0]*[x-(y-z)]=(x+y-z)*(x-y+z)
第五題︰這一題先要將前面兩個括號乘開，重新組合，再用和的平方公式a^2+2ab+b^2=(a+b) ^2及差平方公式a^2-2ab+b^2=(a-b) ^2。
(x^2-1)*(y^2-1)+4xy=x^2y^2-x^2-y^2+1+4xy=(x^2y^2+2xy+1)-(x^2+y^2-2xy)=[(xy) ^2+2*(xy)*1+1^2]-(x-y) ^2=(xy+1) ^2-(x-y) ^2=[(xy+1)+(x-y)]*[(xy+1)-(x-y)]=(xy+x-y+1)*(xy+1-x+y)
第六題用到立方和公式a^3+b^=(a+b)(a^2-ab+b^2)還有一個與此式對稱式子稱為立方差公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
8x^3+1=(2x) ^3+1^3=(2x+1)[(2x) ^2-(2x)*1+1^2]=(2x+1)(4x^2-2x+1)

幫 C 更正一下
1.
x^4 + 4

=(x^4 + 4x^2 + 4) – 4x^2

=(x^2 + 2)\^2\ – (2x)^2 (ps. \^2\ 是他打漏字)

=(x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 – 2x)

=(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2)

2014-08-14 15:25:07 補充：
(x^2 + 2)^2 的 ^2 是他打漏字

1.x^4 + 4=(x^4 + 4x^2 + 4) – 4x^2=(x^2 + 2) – (2x)^2=(x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 – 2x)=(x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2) 2.x^4 + x^2y^2 + y^4= (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) – x^2y^2=(x^2 + y^2)^2 –(xy)^2=(x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 –xy)=(x^2 + xy + y^2)(x^2 –xy + y^2) 3.8x^3 – 12x^2y + 6xy^2 – y^3=(2x)^3 – 3(2x)^2(y) + 3(2x)(y^2) – y^3=(2x – y)^3 4.x^2 – y^2 – z^2 + 2yz=x^2 – (y^2 – 2yz + z^2)=x^2 – (y-z)^2=(x + y –z)(x – y + z) 5.(x^2 – 1)(y^2 – 1) + 4xy=x^2y^2 –x^2 – y^2 + 1 + 4xy=(x^2y^2 + 2xy + 1) – (x^2 – 2xy + y^2)=(xy + 1)^2 – (x – y)^2=(xy + x – y + 1)(xy –x + y + 1) 6.8x^3 + 1=(2x)^3 + 1^3=(2x + 1)((2x)^2 – (2x)(1) + 1^2)=(2x + 1)(4x^2 – 2x +1)

2014-08-14 22:34:28 補充：
修正：

1.
…
=(x^2 + 2) – (2x)^2  =(x^2 + 2)^2 – (2x)^2
…

==============

感謝Tony 指正