一元高次不等式

設f(x)為實係數三次多項式，且不等式f(x)>=0之解為x<= －2或x=1，
試解不等式f(2x)<0?
Sol
f(x)>=0之解為x<=－2或x=1
設f(x)=a(x+2)(x－1)^2
f(－3)=a*(－1)*16>0
a<0
f(2x)=a(2x+2)(2x－1)^2<0
(2x+2)(2x－1)^2>0
(x+1)(2x－1)^2>0
x+1>0，2x－1<>0
x>－1，x<>1/2

哦！原來 自由自在 知識長已經解說了。那我刪除吧。

原帖：

qid=1014081006189

設 y = 2x,
f(y) >=0之解為y<=-2或y=1
(ps.只是把題目的x變成y,因為x和y是代號, 所以用x和y是一樣, 解也是一樣)
f(2x) >=0之解為2x<=-2或2x=1
即, f(2x) >=0之解為x<=-1或 x=1/2
那 f(2x) < 0 之解為 不是 f(2x) >=0之解
也是說, f(2x) < 0 之解為 不是 (x<=-1或 x=1/2)
即, f(2x) < 0 之解為 不是 x<=-1和 不是 x=1/2
(ps. 不是 (x<=-1或 x=1/2) 即是 不是 x<=-1和 不是 x=1/2,
這個你要自己慢慢想, 如果有學過數理邏輯(或logic)就有幫助,
就是logic中的 ~(P or Q) = ~P and ~Q)
f(2x) < 0 之解為 x>-1及x≠1/2

2014-08-12 08:41:20 補充：
補充:
從 不等式f(x)>=0之解為x<=-2或x=1 可以看出,
f(x) = 0 之解為x = -2 或 x = 1
因為f(x)為實係數多項式, 所以虛根一定是雙數,
但f(x)為三次多項式, 而且有2個實根,
剩下的根(1個根)一定不是虛根, 所以剩下的根也是實根,
得出f(x)的根全是實根
f(x) = 0 之最後一個解是不知道, 但知道範圍是 x < -2,
只有 範圍是 x < -2才令得f(x) = 0 之最後一個解不顯示出來,
因為f(x)>=0之解為x<=-2 已經覆蓋了

2014-08-12 11:38:38 補充：
抱歉, 我的補充有錯誤

f(x) = 0 之最後一個解是不知道, 但知道範圍是 x < -2,
只有 範圍是 x < -2才令得f(x) = 0 之最後一個解不顯示出來,
因為f(x)>=0之解為x<=-2 已經覆蓋了

是有錯誤, 真的感到抱歉!
以下作更正

2014-08-12 11:39:02 補充：
更正補充:
從 不等式f(x)>=0之解為x<=-2或x=1 可以看出,
f(x) = 0 之解為x = -2 或 x = 1
因為f(x)為實係數多項式, 所以虛根一定是雙數,
但f(x)為三次多項式, 而且有2個實根,
剩下的根(1個根)一定不是虛根, 所以剩下的根也是實根,
得出f(x)的根全是實根

2014-08-12 12:01:03 補充：
剩下的補充在意見區

2014-08-12 12:09:26 補充：
設f(x) = a(x+2)(x-1)(x-b) (ps b是最後一個實根), a≠0
(ps. 如果a=0,f(x)=0(無論x是什麼,f(x)也是0),如題目有衝突,
因只有在x<=-2或x=1, 才f(x)>=0)
當x<=-2, x+2<=0, x-1<0, 則(x+2)(x-1)>=0, 但f(x)>=0,
所以a(x-b)>=0, 則有2個可能情況
1. a>=0 和 x-b>=0, 則 a>=0 和 b<=x
2. a<=0 和 x-b<=0, 則 a<=0 和 b>=x

2014-08-12 12:13:35 補充：
但 1. a>=0 和 b<=x 是不可能
因b是常數(數值固定), 而x是變數(可以改變)
當b是 -100, x < -100(eg. -200), b<=x 就不成立

所以只有2. a<=0 和 x-b<=0, 則 a<=0 和 b>=x 才成立
而在x<=-2情況下, x的最大值是 -2, 那b>= -2

2014-08-12 12:39:42 補充：
當-2< x <1, x+2>0, x-1<0, 則(x+2)(x-1)<0,
但f(x)>=0之解為x<=-2或x=1, 也就是當-2< x <1, f(x)<0
所以a(x-b)>=0, 則有2個可能情況
1. a>=0 和 x-b>=0, 則 a>=0 和 b<=x, 這個不可能,
因為在意見004(a<=0)有衝突

2. a<=0 和 x-b<=0, 則 a<=0 和 b>=x
在 -2< x <1情況下, x的最大值是接近 1, 那b>=1才成立

2014-08-12 12:57:11 補充：
當 x >= 1, x+2>0, x-1<=0, 則(x+2)(x-1)>=0,
但f(x)>=0之解為x<=-2或x=1, 也就是當x >= 1, f(x)<0
所以a(x-b)<=0, 則有2個可能情況
1. a>=0 和 x-b<=0, 則 a>=0 和 b>=x, 這個不可能,
因為在意見004(a<=0)有衝突

2. a<=0 和 x-b>=0, 則 a<=0 和 b<=x
而在x<=-2情況下, x的最小值是 1, 那b<= 1

2014-08-12 13:05:08 補充：
結合意見004,008,011,
a<=0 和 (b>= -2 和 b>=1 和 b<= 1)
即是a<=0 和 b=1,
f(x) = a(x+2)(x-1)(x-1) = a(x+2)(x-1)^2, a<=0
f(x)的根有 -2,1(二重實根), 也就是我們不知道的最後一個根其實在 1,
只不過重複了

2014-08-12 13:05:46 補充：
f(x) = 0 之最後一個解是不知道, 但知道範圍是 x < -2,
只有 範圍是 x < -2才令得f(x) = 0 之最後一個解不顯示出來,
因為f(x)>=0之解為x<=-2 已經覆蓋了

是有錯誤, 真的感到抱歉!
希望發問者有留意到意見區的更正

2014-08-12 16:36:57 補充：
螞蟻雄兵,
如果解釋怎樣知道f(x)有二重根(-1)更好