【數學排列題】十隻手指到底有幾多種組合?

呢個係數學上有名堂的，叫 Derangement。

http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement

http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98

2014-08-07 02:52:53 補充：
有關 錯排 (Derangement) 的問題

〔註：以下的計算最終要用到排容原理 (Inclusion-Exclusion Principle)，同學一般都是較難明白這個部份。這在計算上要交替加減的。〕

答案：
　5! - ₅C₁ (4!) + ₅C₂ (3!) - ₅C₃ (2!) + ₅C₄ (1!) - ₅C₅ (0!)
= 44

簡介情況部份
我們定義 D(n) 為 n 對物件（如 n 隻左手手指和 n 隻右手手指）均不是互相配合的總數，現在題目求的就是 D(5)。

先想想，如果只有一對物件要配合（設 {1} 配 {A} ），那必定會成功配合，即是 1A，因此，
D(1) = 0　〔沒有全不配合之情況〕
同時留意一對物件的總配合數 = 1! = 1

若有兩對物件（設 {1, 2} 配 {A, B} ），
那麼成功配合的情況是 1A, 2B，
全不配合的情況是 1B, 2A。
因此，D(2) = 1　〔只有一個全不配合之情況〕
同時留意兩對物件的總配合數 = 2! = 2

到有三件物件（設 {1, 2, 3} 配 {A, B, C} ），
全不配合的情況包括以下：
１　２　３
Ｂ　Ｃ　Ａ
Ｃ　Ａ　Ｂ
因此，D(3) = 2　〔只有兩個全不配合之情況〕
同時留意三對物件的總配合數 = 3! = 6
這裏，即是說有 6 - 2 = 4 個情況會有一對或以上的成功配合。

如果有 n 對物件，先知道 n 對物件的總配合數 = n!
這個數當中包括全不配合 (D(n) 個情況)、全配合(1 個情況)、部份配合等等。
我們要解答問題，就要考慮部份配合的情況，令部份配合數為 k, k = 0, 1, 2, 3, ..., n。
即只有 k 對正確配合， n - k 對全不配合。
其實只要先界定出哪 k 對要正確配合，那餘下 n - k 對全不配合的情況就是有 D(n - k) 個。

解答部份
先考慮所有可能的排列情況，共有 5! 個情況。
當中包括以下分類情況：
〔★〕5 對全不配合（現求這個情況的數目）
（一）4 對全不配合，1 對配合
（二）3 對全不配合，2 對配合
（三）2 對全不配合，3 對配合
（四）1 對全不配合，4 對配合〔這個情況其實不會出現〕
（五）0 對全不配合，5 對配合〔這容易想到只有一個情況〕


我們所求的（★）情況的數目就是：
5! - （一）情況的數目 - （二）情況的數目
　 - （三）情況的數目 - （四）情況的數目 - （五）情況的數目

但問題就要減的這五個數的每一個不是能夠（一般來說）輕易地找到，但有方法可以考慮一個整體情況。

（一）至（五）5 個情況合起來就是起碼有 1 對配合的情況。

那我們可以先指定某一對配合（如 1 配 A 或 4 配 D）其他暫不理，即是有 ₅C₁ 個大情況，那餘下的 4 對任排，即是有 4! 那麼多個情況。

所以，暫時這一刻，我們心裏想，是不是：
5! - ₅C₁ (4!) 就是答案呢？

非也。原因是，₅C₁ (4!) 這個數當中包含了重複計算的情況。
為什麼會重覆呢？
例如：
（甲）
先指定 1 配 A 為正確配合，餘下的 4 對任排，那其中一個可能性是 2 配了 B，而餘下的 3 對全錯配。
（乙）
先指定 2 配 B 為正確配合，餘下的 4 對任排，那其中一個可能性是 1 配了 A，而餘下的 3 對全錯配。
那麼（甲）和（乙）在上述計算中是重覆計算了，如果用 5! 再減去 ₅C₁ (4!)，就會減得太多了。

因此，我們在減數之前，必需要扣去一些情況。
簡單來說，最終答案應是：5! - [ ₅C₁ (4!) - (一些東西) ]

那這 (一些東西) 是什麼呢？
既然重覆計算了起碼有 2 對配合的情況，那就扣去那些情況吧。
又像以上的想法：我們可以先指定某兩對配合（如 1A, 2B 或 1A, 5E）其他暫不理，即是有 ₅C₂ 個大情況，那餘下的 3 對任排，即是有 3! 那麼多個情況。所以，要扣去的數目像是 ₅C₂ (3!)。

那麼，當你再想答案會否是
　5! - [ ₅C₁ (4!) - ₅C₂ (3!) ]
的時候，相信你也開始知道發生什麼事了。

在 ₅C₁ (4!) - ₅C₂ (3!) 這個部份，其實又再一次減得太多了，因為在指定某兩對配合，餘下的 3 對任排的時候，重覆的情況又是會出現的。
所以，你心知答案應是：
　5! - { ₅C₁ (4!) - [ ₅C₂ (3!) - (一些東西) ]}
= 5! - ₅C₁ (4!) + ₅C₂ (3!) - (一些東西)

如此類推，答案應是：
　5! - ₅C₁ (4!) + ₅C₂ (3!) - ₅C₃ (2!) + ₅C₄ (1!) - ₅C₅ (0!)

其實背後的計算是
　5! - {₅C₁ (4!) - {₅C₂ (3!) - {₅C₃ (2!) - [ ₅C₄ (1!) - ₅C₅ (0!) ] } } }


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/728602933.jpg