請問關於機率與統計的動差母函數和分配法公式以及定義

1
f(x)=e^-x Mx(t)=?



若 p.d.f. 是 f(x) = e^{-x}, x>0, 則
Mx(t) = ∫_(0,∞) e^{tx}e^{-x} dx = ∫_(0,∞) e^{-(1-t)x} dx = 1/(1-t), t<1




2
如何證明mgf不一定存在 舉個例子?


m.g.f. 存在則所有動差皆存在.
如 Cauchy 分布, 標準型 p.d.f. 是 f(x) = 1/{π(1+x^2)}, x in R,
這個分布連期望值 E[X] 都不存在, 當然不可能存在 m.g.f.

事實上也有分布是存在任意階動差, 但 m.g.f. 不存在的.
因 m.g.f. 若存在, 則
Mx(t) = 1 + E[X] t + E[X^2] t^2/2 + E[X^3] t^3/3! + ....
因此若任意階動差皆存在, 必須上列右式冪級數收斂,
m.g.f. 才存在.



3
E[E(X|Y)]=E(X) 如何推出這個條件機率期望值的公式的?


在高等機率論, 上列恆等式是定義條件期望值 E[X|Y] 的
條件之一特例, 也就是說 E[X|Y] 是由包含上述等式之一堆
(無窮多) 等式所定義的.

在初等機率學中, E[X|Y] 是由 E[X|Y=y] 轉化而來, 而
E[X|Y=y] 依基本定義, 是 given Y=y 之下, X 的條件期望值.
由 f(x,y) = g(x|y)h(y), 其中 g(x|y) 是 given Y=y 時 X 的條件
p.d.f. 或 p.m.f., h(y) 是 Y 的 marginal p.d.f. 或 p.m.f.
接下來導出 E[E[X|Y]] = E[X] 只是由基本定義做代數演算
而已.

以上說明還有不清楚的, 去看 "機率概論" 或 "數統入門"
的教本吧! 包括期望值的定義和條件分布的東西.



4
幾何分布? pdf公式?

我了解的幾何分佈是要得到某一個結果 必須失敗幾次
像是不停的擲骰子 直到擲到1 而中間擲骰子的次數是隨機的幾何分布
不知道有沒有錯 那幾何分布有pdf公式?


幾何分布有2種 (負二項分布也是), 一種其隨機變數 X 是 "失敗次數",
一種其隨機變數 Y 是 "試驗次數".

X 的 p.d.f. 是 f(x) = qp^x, x=0,1,2,3,... 其中 q = 1-p.
Y 的 p.d.f. 是 h(y) = qp^{y-1}, y=1,2,3,...



5
馬克勞林級數?

泰勒級數 f(x)=Σf(a)(x-a)^n/n! 老師說馬克勞林是簡化泰勒 將a=0
所以出來公式會是f(x)=Σf(0)(x-0)^n/n! 這樣嗎?


去看看 "微積分" 教本吧!



6
為何機率都先算Mx(t) Var(x)?



不懂你在問什麼.




7
拉普拉斯轉換? 及用處?



機率學(機率論)中少見 "Laplace 轉換" 這名詞, 在工程數學中
這轉換則是重要工具. 事實上, Laplace 轉換 與機率學中的
動差母函數(m.g.f.), 以及 "特徵函數" (ch.f.) 可說是同一種東西,
只是定義範圍不同.
m.g.f. 是 M(t) = ∫_R e^{tx} f(x) dx, |t| < h, h 是某一正數.
ch.f. 是 φ(t) = ∫_R e^{-itx} f(x) dx, 式中 i 是虛數單位.
Laplace 轉換可能是 L(t) = ∫_(0,∞) e^{-tx} f(x) dx, t > 0;
也可能是更一般形, 但積分範圍是整個數線的 ∫_R e^{-zx} f(x) dx,
z 是複數.

這些轉換都是一對一轉換. 也就是說若 f(x) 與 g(x) 的某個轉換
相同, 例如 L{f}(t) = L{g}(t), 則 f 與 g (在轉換定義式之積分範圍內)
相等.



2014-08-08 10:04:01 補充：
我昏頭了, 上面幾何分布 p.m.f. 寫錯了,
X 的 p.m.f. 是 f(x) = pqx, x=0,1,2,3,... 其中 q = 1-p.
Y 的 p.m.f. 是 h(y) = pq^{y-1}, y=1,2,3,...

又, 在較高等課程, 連續型 p.d.f. 阪離散型 p.m.f. 可能都稱 p.d.f.

>這家不錯 lｖ3３3。ｃC買幾次啦真的一樣
匨侱南

一次過問七大題，很難答你耶？！？！