請問y=2^x跟y=x^100的圖形有幾個交點

無錯，畫一條 y = 2^x，一條 y = x^1000，可見到 x 在 -1 與 0 之間，及 1 與 2 之間有交點，
但當 x 非常大之時還有沒有交點呢？
你可換另一種圖，y-軸是 log(2)y，即底數是2的對數，
畫一條 Y＝x，及一條 Y＝1000 log(2)x ⋯⋯⋯⋯ (Y＝log(2)y)
因為 2^13 = 8192 < 13000，2^14 =16384 > 14000，
所以可看見也有兩個交點，一點在 2^0 與 2^1 之間，一點在 2^13 與 2^14 之間。
即總共有 3 個交點：-1 與 0 之間；1 與 2 之間；8192 與 16384 之間。
用半分法，準確至五位數字的話，答案是
x＝-0.99314, 1.0070 及 13747

考慮方程式 a^x = |x|^n, a>1, n>0.

在 x < 0 部分, a^x 是上升的, |x|^n 是下降的, 而且 a^0 = 1 而
a^x →0 當 x→ -∞, |0|^n = 0 而 |x|^n → +∞ 當 x→ -∞. 因此,
方程式恰有一負根.

在 x > 0 部分, x 小時 a^x > |x|^n, x 很大時指數式 a^x 的增長
比乘冪式 |x|^n = x^n 快得多, 因此也有 a^x > |x|^n. 所以, 方程
式如有正根, 則是偶數個正根.

2014-08-09 10:16:15 補充：
最小正根是 a^x > x^n 轉為 a^x < x^n 之點, 下一個正根是再
轉為 a^x > x^n 之點. 此時 a^x 再次超過 x^n 是因前者增幅
快的緣故, 因此再也不可能又轉成 a^x < x^n. 所以, 正根最多
也就是兩個. 正式證明可利用微分完成.


所以 方程式 a^x = |x|^n, a>1, n>0 的根或 1 個, 或 3個, 其中
一個是負根. 例如 2^x = x^2 的兩正根是 2, 4. 又如 e^x = x 沒
有正根.

1.00700444 及 -0.9931397