微積分題目

(1) x^2+y^2=r^2, 圓周長=2兀rx=r*cosθ; y=r*sinθ=> x'=-r*sinθ; y'=r*cosθs=∫√(x'²+y'²) dθ (θ=0~2π)=∫r√[(sinθ)²+(cosθ)²]dθ=∫r*dθ=2πr (2) 圓面積=兀r^2
A=∫∫rdθ*dr=∫∫rdr*dθ (r=0~r;θ=0~2π)=0.5r^2∫dθ=0.5r^2*θ =0.5r^2*2π=πr^2 (3) 第一、二象限圓的區域繞X軸（圓盤法）求體積＝(4/3)兀R^3Vx=∫∫2πy*dA=∫∫2π(r*sinθ)*(rdr*dθ) (r=0~r;θ=0~π)=∫∫2πr^2*sinθ*dr*dθ=∫(2πr^3/3)sinθdθ=(2πr^3/3)*(-cosθ)=(2r^3/3)*(-cosπ+cos0)=4πr^3/3


2014-08-06 06:44:58 補充：
以上是甜甜圈法; 以下是圓盤法:

Vx=∫πy^2*dx

=∫π(r^2-x^2)dx (x=-r~r)

=∫2π(r^2-x^2)dx (x=0~r)

=2π(xr^2-x^3/3)

=2π(r^3-r^3)/3

=2π*(2r^3)/3

=4πr^3/3

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嗯，大家要記住，做呢ｄ題係 verify，唔係 prove，否則會犯了循環論證的錯誤。

記住 π （圓周率）是定義為 圓周 ÷ 直徑

所以唔可以「證明」圓周 = 2 × π × 半徑。

但用微積分 verify （驗證）就可以。

(◕‿◕✿)

x² + y² = R²

x(θ) = Rcosθ ; y(θ) = Rsinθ

∫ ds = ∫√([x'(θ)]² + [y'(θ)]²) dθ 由 0 至 2π

s = ∫√[(Rsinθ)² + (Rcosθ)²] dθ 由 0 至 2π

= R∫dθ 由 0 至 2π

= R(2π)

2014-08-06 01:09:16 補充：
面積 = ∫ 2πRdR 由 0 至 R

= πR²