三次根號運算

p=∛2, q=∛3 => p³=2, q³=3.....(1)p³-1=(p-1)(p²+p+1), p³+1=(p+1)(p²-p+1)=> p-1=(p³-1)/(p²+p+1)......(2) p+1=(p³+1)/(p²-p+1)......(3) w=∛(∛2-1) => w³=∛2-1=p-1=(p³-1)/(p²+p+1)......by Eq.(2)=(2-1)/(p²+p+1).......by Eq.(1)=3/(3p²+3p+3)=q³/(2+3p²+3p+1)=q³/(p³+3p²+3p+1)=q³/(p+1)³ =>
w=∛[q³/(p+1)³]=q/(p+1)=q(p²-p+1)/(p³+1).....by Eq.(3)=q(p²-p+1)/(2+1)......by Eq.(1)=q(p²-p+1)/3=q(p²-p+1)/q³=(p²-p+1)/q²=(p/q)²-p/q²+1/q²=∛a+∛b+∛c => a+b+c=(p/q)^6-p³/q^6+1/q^6=(2/3)²-(2/9)+1/9=(4-2+1)/9=3/9=1/3......ans

當a=b=c時
[2^(1/3)－1]^(1/3)=3*a^(1/3)
27a=2^(1/3)－1
a+b+c=[2^(1/3)－1]/9

∛(∛2 - 1)
= ∛ ( (2 - 1) / (∛4 + ∛2 + 1) )
= ∛ ( 3 / (3∛4 + 3∛2 + 3) )
= ∛ ( 3 / (∛8 + 3∛4 + 3∛2 + 1) )
= ∛ ( 3 / (∛2 + 1)³ )
= ∛3 / (∛2 + 1)
= ∛3 / ( (2 + 1) / (∛4 - ∛2 + 1) )
= (∛4 - ∛2 + 1) / ∛9
= ∛(4/9) - ∛(2/9) + ∛(1/9)
∴ a + b + c = 4/9 - 2/9 + 1/9 = 1/3

2014-08-04 23:35:07 補充：
如何證明 (a , b , c) = (4/9 , - 2/9 , 1/9) 是唯一有理數解, 不得而知。

先假設a=b=0.001用計算機算得a+b+c=0.0861346...
在假設a=b=0.008算得a+b+c=0.0295128...
除非題目還有其他的條件
不然a+b+c並不是常數

你確定 a+b+c 只取一值嗎？

否則我令 b = c = 0 已能算出？

2014-08-04 21:37:27 補充：
不是啊，那如果我令 a = b = 1 再計出 c ，再計 a + b + c 也可。

也可以令 a = 2, b = 3, 再計出 c ，再計 a + b + c 也可。

所以我想知題目是否還有其他條件？

2014-08-04 23:19:38 補充：
哲 網友 完全明白我的意思！！！

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2014-08-05 02:05:47 補充：
好野！

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2014-08-06 23:36:39 補充：
似乎最有可能的就是如 ☂雨後晴空☀ ( 知識長 ) 所解的情況。

即是問題可能是要求 a, b, c 皆為有理數。