關於有理數和整數的問題

√(4x² + 3x + 1)是有理數, 存在有理數 y 使 4x² + 3x + 1 = y²,
4x² + 3x + 1 - y² = 0
x 為有理數, 則 △ = 9 - 16(1 - y²) = 16y² - 7 必為有理數之平方,
存在有理數 m 使 16y² - 7 = m² ⇒ (4y - m) (4y + m) = 7 , 因 7 有無限個方式表為二個有理數之積, 故方程有無限個有理解, 例如令 4y - m = 2 及 4y + m = 7/2 得 y = 11/16 , m = 3/4
有理解 x = ( - 3 ± 3/4 ) / 8 = - 9/32 或 - 15/32 。
2x² - 7xy + 6y² + 4x + 5y - 11 = 0
2x² + (4 - 7y)x + 6y² + 5y - 11 = 0
x = [ (7y - 4) ± √( (4 - 7y)² - 8(6y² + 5y - 11) ) ] / 4
x = ( 7y - 4 ± √( y² - 96y + 104) ) / 4
若 x 為整數, 存在正整數 m 使 y² - 96y + 104 = m² ,
(y - 48)² - 2200 = m²
(y - 48 - m) (y - 48 + m) = 2200 = 2³ × 5² × 11
注意 y - 48 - m < y - 48 + m 且必同為偶數 ,
得 (y - 48 - m) (y - 48 + m) 各組合及對應整數點之x , y值如下 :
(2) (2² × 5² × 11) ⇒ y = 599 , x = 910
(2 × 5) (2² × 5 × 11) ⇒ y = 163 , x = 258
(2 × 11) (2² × 5²) ⇒ y = 109 , x = 180
(2²) (2 × 5² × 11) ⇒ y = 325 , x = 636
(2² × 5) (2 × 5 × 11) ⇒ y = 113 , x = 208
(2² × 11) (2 × 5²) ⇒ y = 95 , x = 166
(- 2² × 5² × 11) (- 2) ⇒ y = - 503 , x = - 744
(- 2² × 5 × 11) (- 2 × 5) ⇒ y = - 67 , x = - 92
(- 2² × 5²) (- 2 × 11) ⇒ y = - 13 , x = - 14
(- 2 × 5² × 11) (- 2²) ⇒ y = - 229 , x = - 470
(- 2 × 5 × 11) (- 2² × 5) ⇒ y = - 17 , x = - 42
(- 2 × 5²) (- 2² × 11) ⇒ y = 1 , x = 0 若 x 為有理數, 存在正有理數 m 使 y² - 96y + 104 = m² ,
(y - 48 - m) (y - 48 + m) = 2200
因 2200 有無限個方式表為二個有理數之積, 故方程有無限個有理解, 例如令 (y - 48 - m) = - 2200 及 (y - 48 + m) = - 1 ,
得 y = -1052.5 , x = - 1568 或 x = - 2117.75
即 (- 1568 , - 1052.5) 及 (- 2117.75 , - 1052.5) 為曲線上之兩個有理點。

(1) 有理通解為 x=7/(16r) - r/16 - 3/8;√(4x^2+3x+1)=1/8 |r+7/r|
其中r∈Q-{0,1,-7}
(2) 有理通解(x,y)=(2r + 825/r + 83,r + 550/r + 48)
其中r∈Q-{0}

2014-08-02 12:15:13 補充：
(1) 有理通解為 x=7/(16r) - r/16 - 3/8;√(4x^2+3x+1)=1/8 (r + 7/r)
其中r ∈ Q^+ - {1}

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