線性變換T(A)=(A+A^t)/2 Im(T)

先了解T這個函數，它的定義域是所有n*n的矩陣，定義域的矩陣經過T這個線性變換送到對應域，而對應域也是所有n*n的矩陣，要注意的是函數一定要是well-defined，well-defined就是若A=B則T(A)=T(B)，但這個函數不是一對一，因為T(A)=(A+A^t)/2且容易看出T(A^t)=(A+A^t)/2，所以T(A)=T(A^t)，但A不一定等於A^t。

我們要證明Im(T)= {B belong to F^(n*n) | B^t = B}
Im(T)就是T函數的值域
在這裡我將使用B這個符號，不要跟A搞混
T(A)是一個矩陣，且T(A)=(A+A^t)/2，容易看出T(A)^t=((A+A^t)/2)^t=(A+A^t)/2，
所以令T(A)=B，那麼這個線性變換就有B=B^t的性質，但我們只知道Im(T)落在
{B belong to F^(n*n) | B^t = B}裡面，也就是在畫集合圖時{B belong to F^(n*n) | B^t = B}會包住Im(T)，但要證明其實Im(T)會等於{B belong to F^(n*n) | B^t = B}，所以我們只要證明{B belong to F^(n*n) | B^t = B}⊆Im(T)

要證明:{B belong to F^(n*n) | B^t = B}⊆Im(T)
pf:任給一個B在F^(n*n)裡滿足B^t = B，要證明B屬於Im(T)，即在定義域上存在A使得
T(A)=(A+A^t)/2=B，我們取A=B即可，因為若A=B，則T(A)=T(B)=(B+B^t)/2=(B+B)/2=B，done.

2014-08-05 17:16:10 補充：
不會

其實要證等式兩邊相等，關鍵就是要證兩邊互相包含
{B belong to F^(n*n) | B^t = B}⊆Im(T)
和
{B belong to F^(n*n) | B^t = B}⊇Im(T)

到下面的網址看看吧

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(T(A))^t = [(A+A^t)/2]^t = (A+A^t)^t/2 = (A^t+A)/2 = T(A)


又, 若 A^t = A 則 T(A) = A.

2014-08-02 10:55:34 補充：
第一個事實說明 Im(T) 是 {A belong to F^(n*n) | A^t = A} (所有 n 階對稱方陣)
的子集; 第二個事實說明所有 n 階對稱方陣都在 Im(T) 中. 這完成了所需的證明.