x³+ax²+2x+4與2x³+x²+a²x+2有二次公因式

設 x³＋ax²＋2x＋4＝(x²＋bx＋c)(x＋d) 及 2x³＋x²＋a²x＋2＝(x²＋bx＋c)(2x＋e)
所以
a＝b＋d ................ (i)
2＝bd＋c ............. (ii)
4＝cd .................. (iii)
1＝2b＋e ............ (iv)
a²＝be＋2c .......... (v)
2＝ce .................. (vi)
由 (iii), (vi) 得
d＝2e ................. (vii)
(vii) 代入 (i) 得 a＝b＋2e
聯合 (iv)，得 b＝(2－a)/3，e＝(2a－1)/3
(vii) 代入 (ii) 得 2＝2be＋c
聯合 (v)，得 c＝(2a²－2)/3，be＝(4－a²)/3
所以
(2－a)(2a－1)＝3(4－a²)
==> a²＋5a－14＝0
==> (a－2)(a＋7)＝0
所以 a＝2 或 -7

情況一：a＝2
則 b＝0，c＝2，e＝1，d＝2
兩函數分別是 x³＋2x²＋2x＋4 及 2x³＋x²＋4x＋2，二次公因式是 x²＋2。

情況二：a＝-7
則 b＝3，c＝32，e＝-5，d＝-10
兩函數分別是 x³－7x²＋2x＋4 及 2x³＋x²＋49x＋2，二次公因式是 x²＋3x＋32，不合。

答案：a＝2

若x^3+ax^2+2x+4與2x^3+x^2+a^2x+2有二次公因式，則a=?
Sol
2(x^3+ax^2+2x+4)－(2x^3+x^2+a^2x+2)
=(2a－1)x^2+(4－a^2)x+6
(x^3+ax^2+2x+4)－2(2x^3+x^2+a^2x+2)
=－3x^3+(a－2)x^2+(2－2a^2)x
=－x[3x^2+(2－a)x+(2a^2－2)]
x不是公因式
(1) a=2
(2a－1)x^2+(4－a^2)x+6=3x^2+6
3x^2+(2－a)x+(2a^2－2)=3x^2+6
(2) a<>2
(2a－1)/3=(4－a^2)/(2－a)=6/(2a^2－2)
(2a－1)/3=(2+a)/1=3/(a^2－1)
(2a－1)/3=(2+a)/1
6+3a=2a－1
a=－7
(2－7)/1<>3/(49－1)
綜合(1)，(2)
a=2