數學問題:有關平方數

隨便挑選哪四個連續的自然數，把它們乘起來，然後在加1，不問其結果是什

麼，但可以斷定，那一個數一定是個完全平方數。

可不是嗎?你瞧:

1×2×3×4+1=25(=5²)

2×3×4×5+1=121(=11²)

3×4×5×6+1=361(=19²)..............

愈往後，計算就麻煩了，但是不管怎麼樣，我們可以判定，算出來的結果一定

是一個完全平方數。

這道並不是因為看了前面幾個特殊的情形，都有這個規律，因而就這麼推想下

去了。不是的，那樣做是不可靠的!那麼，可以這樣下結論的理由又是什麼呢?

四個相鄰的數，設最小的一個是a，那我們就來研究下面的數究竟是不是一個完

全平方數:a(a+1)(a+2)(a+3)+1

我們知道

a(a+1)(a+2)(a+3)+1

=a(a+3)(a+1)(a+2)+1

=(a²+3a)(a²+3a+2)+1

=(a²+3a)²+2(a²+3a)+1

=(a²+3a+1)²

好了，a是一個自然數，(a²+3a+1)²不就是個自然數的平方嗎?

通過上面的計算，不僅知道a(a+1)(a+2)(a+3)+1是個完全平方數，而且也可以很

快的算出他到底是甚麼數的平方。

比方:10×11×12×13+1=?

這裡a=10，於是a²+3a+1=131

所以10×11×12×13+1=131²

你也可以算算:15×16×17×18+1=?

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安妮的答案中，第二行 "=(x(x+3x))((x+1)(x+3)) + 1"

應是："= (x(x+3))((x+1)(x+2)) + 1"

4個連續正整數相乘在加1, 可設為

x(x+1)(x+2)(x+3) + 1
=(x(x+3x))((x+1)(x+3)) + 1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2) + 1
=(x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) + 1
=(x^2+3x+1)^2 ----為完全平方數