Annuities due 問題

無錯，其實前幾天我答你的時候正好想跟你說 annuity-immediate (ordinary annuity) 和 annuity-due 的問題，但為免令你感到混亂所以我當時暫不提出。

我建議你用以下的方法去想：
n = 5 即是五年：

今天是 Time 0。

Annuity-immediate 的意思：
　　｜　｜　｜　｜　｜
　　ｖ　ｖ　ｖ　ｖ　ｖ
＋－＋－＋－＋－＋－＋－
０　１　２　３　４　５

Annuity-due 的意思：
｜　｜　｜　｜　｜
ｖ　ｖ　ｖ　ｖ　ｖ
＋－＋－＋－＋－＋－＋－
０　１　２　３　４　５

2014-07-24 12:02:09 補充：
For Payment = $400, i = 10%, n = 5.

PV(annuity-immediate) = $400 × (1 - 1/1.1⁵)/0.1 = $1516.314708

PV(annuity-immediate) = $400 × (1 - 1/1.1⁵)/0.1 × 1.1 = $1667.946179

你發問的數字內容不清晰，所以我暫不作答。

2014-07-24 12:04:27 補充：
其實重點是你在哪一個 time point 看這個 annuity。

我舉例：
　　　　｜　｜　｜　｜　
　　　　Ｖ　Ｖ　Ｖ　Ｖ
＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋
０　１　２　３　４　５　６　７　８

這是一個四年的年金 annuity。

若你看 Time 1 至 Time 5 這個四年期，以上是一個 annuity-immediate；
若你看 Time 2 至 Time 6 這個四年期，以上是一個 annuity-due。

我覺得你這樣理解，概念上會清晰很多。

2014-07-24 16:07:29 補充：
http://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E6%99%AE%E9%80%9A%E5%B9%B4%E9%87%91

對，annuity-immediate = ordinary annuity。

這是個古怪的名稱，你想 immediate 這個詞可能會誤會，但的確名稱如此。

2014-07-24 16:08:26 補充：
你說得對，annuity-due 才是立即付的。

但名稱的確如此。

2014-07-27 19:18:19 補充：
以上 002 打錯字：

For Payment = $400, i = 10%, n = 5.

PV(annuity-immediate) = $400 × (1 - 1/1.1⁵)/0.1 = $1516.314708

PV(annuity-due) = $400 × (1 - 1/1.1⁵)/0.1 × 1.1 = $1667.946179

2014-07-27 19:24:26 補充：
我終於看明白你寫的東西了。
〔先更新你一點，記住講value要知道問哪一個time point〕
〔例如問 PV 或 FV〕
〔另外要知道那是 immediate 或 due〕

$1267.95 + ＄400 (as no interest) = $1667.95
這個計算是正確的。

前者是(at time 0) 看 t=1,2,3,4 的cashflow 的值 (4年immediate)
加上 t=0 的cashflow
就是 t=0,1,2,3,4 的值的總和 (5年due)

2014-07-27 19:25:49 補充：
現在我應該完全解答你的疑問了。
〔起碼我明白你問什麼。〕

請看看以上。

但由於發問比較混亂，我也不確定應如何作答。

但先在意見欄討論以令你清楚明白概念吧。

2014-08-02 16:16:26 補充：
「Annuities due 意味著立即支付
　而第二次付款將出現在第二個月的第一天 」
對，可以這樣想。

留意，若 有 cashflow 的 time points 是 1, 2, 3, ..., n，
那麼你留意 t = 0 至 t = n 這時期，那就是 ordinary annuity (年尾付)；
那麼你留意 t = 1 至 t = n + 1 這時期，那就是 annuity-due (年頭付)。

你說 value 要說清楚是 present value (PV) 還是 future value (FV)。

以上例：
V(0) = PV of ordinary annuity
V(1) = PV of annuity-due
V(n) = FV of ordinary annuity
V(n+1) = FV of annuity-due

〔詳情可見我證明４條公式的另一帖。〕


你寫的 Annuity due value = Ordinary annuity value × (1 + r) 是正確的。

Annuity due PV value = Ordinary annuity PV value × (1 + r)
V(1) = V(0) × (1 + r)

Annuity due FV value = Ordinary annuity FV value × (1 + r)
V(n+1) = V(n) × (1 + r)


Question:
"what is Annuity due value ? Ordinary annuity value ?"

Answer:
就是要先指明是 present value 還是 future value。


至於你最後的例子，你的詢問是，你嘗試把一個 5 年的 annuity 作以下兩個看法：
(1) 分開成一個 4 年的 annuity 再加一個 cashflow。
(2) 直接用 (5 年) ordinary annuity 和 (5 年) annuity-due 的關係。

你寫的 "1267.95 * 1.1 = 1667.95" 是錯誤的。
因為 1267.95 是 4 年的 annuity
而 1667.95 是 5 年的 annuity

請細看以下分析。

假設 $400 的 time points 是 0, 1, 2, 3, 4。

｜　｜　｜　｜　｜
ｖ　ｖ　ｖ　ｖ　ｖ
＋－＋－＋－＋－＋－＋－
０　１　２　３　４　５ t

所以若我們看 t = 0 至 t = 5 這[5年]期間，以上是 annuity-due。

PV = V(0) = 400(1 - 1/1.1⁵)/0.1 × 1.1 = 1667.95

(1) 你可以把這個數分析成兩部份：

｜
ｖ
＋－＋－＋－＋－＋－＋－
０　１　２　３　４　５ t

及

　　｜　｜　｜　｜
　　ｖ　ｖ　ｖ　ｖ
＋－＋－＋－＋－＋－＋－
０　１　２　３　４　５ t

因此，at time 0，value of cash flow 就像 $400 (at time 0) 加一個 4 年的 PV of ordinary-annuity。

即 400 + 400(1 - 1/1.1⁴)/0.1 = 400 + 1267.95 = 1667.95（可見一樣，十分合理）

〔這裏留意 1267.95 是 4 年的 PV of ordinary-annuity，不是 5 年〕
〔故此，你不能就此乘 1.1 得到所需結果。〕


(2) 若以 ordinary annuity 變 annuity-due 分析。

看 t = -1 至 t = 4 這[5年]期間，這是 ordindary annuity。

PV = V(-1) = 400(1 - 1/1.1⁵)/0.1 = 1516.31

要計 PV(annuity-due) = V(0) = V(-1) × 1.1 = 1667.95（可見一樣，十分合理）

Annuity Immediate And Annuity Due

annuity-immediate = ordinary annuity ?

Why

Annuities due is refer to the borrower need to repay their loan immediatly