資優數學5題

2.
由(x^2-1)為除式,知r(x)=ax+b
由r(0)=3知r(x)=ax+3
由r(1)=5知r(x)=2x+3
f(x)=(x^2-1)[q(x)]+r(x)
f(-1)=0*[q(-1)]+r(-1)
=r(-1)=1

2014-07-28 03:36:00 補充：
4.
設減量m天,則m+n=30,且由題意知x=50+20(n-1)
原50支30天共銷售50*30=1500
若每天20支增量則共增加20*[(0+29)*30*(1/2)]=8700
8700+1500-7470=2730
若每天減量15支則與增量相差35支
35*[(1+m)*m*(1/2)]=2730
m^2+m=156
m^2+m-156=0
(m+13)(m-12)=0
m=12
n=18
x=50+20*(18-1)=390
n-x=-372

2014-07-28 04:09:04 補充：
5.
(1)取DC中點O為圓心,OD為半徑畫圓切AB於P,
此時PC+PD有最小值=3√2+5√2=8√2
(2)PC^2+PD^2
=AD^2+AP^2+BP^2+BC^2
=9+AP^2+BP^2+25
設AP=x,BP=8-x
則AP^2+BP^2=(x^2)+[(8-x)^2]=(x^2)+[64-16x+(x^2)]
=2(x^2)-16x+64=2[(x^2)-8x+16]+64-32=2[(x-4)^2]+32最小值為32
故PC^2+PD^2最小值=9+32+25=66

2014-07-28 06:18:38 補充：
5.
(1)以AB為對稱軸作AD之對稱線AE,並連接PE
則(三角形ADP)與(三角形AEP)全等(SAS)
得PD=PE
PC+PD=PC+PE>=CE此為最小值

2014-07-28 20:36:39 補充：
第一題：Masterijk ( 知識長 ) 解
假設你不用公式，你可以見到一些規律
1², 11², 21², ... 的個位都是 1
3², 13², 23², ... 的個位都是 9
5², 15², 25², ... 的個位都是 5
7², 17², 27², ... 的個位都是 9
9², 19², 29², ... 的個位都是 1
1 + 9 + 5 + 9 + 1 = 25
每連續五個數加起來都得個位 = 5。
每連續十個數加起來都得個位 = 0。
對於 1² + 3² + 5² + 7² + ... + 2013²，明顯地
1² + 3² + 5² + 7² + ... + 1999² 的個位 = 0。
考慮 2001² + 2003² + ... + 2013² 的個位
即 1² + 3² + ... + 13² 的個位
即 1 + 9 + 5 + 9 + 1 + 1 + 9 的個位，即是 5 。

2.
由(x²-1)為除式,知r(x)=ax+b
由r(0)=3知r(x)=ax+3
由r(1)=5知r(x)=2x+3
f(x)=(x²-1)[q(x)]+r(x)
f(-1)=0*[q(-1)]+r(-1)
=r(-1)=1

第三題：Masterijk ( 知識長 ) 解
y = 2x² + px + (4p - 3)
令 p = 0 得 y = 2x² - 3
令 p = 3/4 得 y = 2x² + (3/4)x
〔這是其中兩條曲線。〕
兩者相交當 2x² - 3 = 2x² + (3/4)x
(3/4)x = -3
x = -4, y = 29
所以 P = (-4, 29)

3.
我的想法:
y = 2x²+px+(4p-3)
y = 2x²+p(x+4)-3
x=-4時,p可為任意值,此時y=29
故P=(-4,29)
感覺Masterijk ( 知識長 )解得較有說服力

4.
設減量m天,則m+n=30,且由題意知x=50+20(n-1)
原50支30天共銷售50*30=1500
若每天20支增量則共增加20*[(0+29)*30*(1/2)]=8700
8700+1500-7470=2730
若每天減量15支則與增量相差35支
35*[(1+m)*m*(1/2)]=2730
m²+m=156
m²+m-156=0
(m+13)(m-12)=0
m=12
n=18
x=50+20*(18-1)=390
n-x=-372

5.
(1)以AB為對稱軸作AD之對稱線AE,並連接PE
則(三角形ADP)與(三角形AEP)全等(SAS)
得PD=PE
PC+PD=PC+PE>=CE為最小值
PC+PD最小值=3√2+5√2=8√2
(2)PC²+PD²
=AD²+AP²+BP²+BC²
=9+AP²+BP²+25
設AP=x,BP=8-x
則AP²+BP²=(x²)+(8-x)²=(x²)+(64-16x+x²)
=2x²-16x+64=2(x²-8x+16)+64-32=2(x-4)²+32最小值為32
故PC²+PD²最小值=9+32+25=66

to：
Xerophil ( 初學者 1 級 )
這個公式我知道喔

2014-07-24 17:32:01 補充：
to：
Masterijk ( 知識長 )
可以請您講解其他的題目嗎?

2014-07-24 18:12:19 補充：
感謝
Masterijk ( 知識長 )
精闢的解題

2014-07-28 13:56:25 補充：
to
乘風遠颺 ( 初學者 3 級 )
可以請您回答這幾題嗎，應該就是選您為最佳解答了

連續正整數平方和公式: n(n+1)(2n+1)/6